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Problemas Resueltos de Ecuaciones en Derivadas Parciales

Alberto Cabada Fern´ndez a

15 de noviembre de 2007.

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´ Indice general
Introducci´n o 1. Ecuaciones de primer orden 1.1. M´todo de las bandas caracter´ eısticas . . . 1.1.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . 1.1.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . 1.2. M´todo de las Integrales Primeras . . . . e 1.2.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . 1.2.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . 1.3. Ecuaciones de Primer Orden No Lineales 1.3.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . 1.3.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . 2. Ecuaciones deSegundo Orden 2.1. Clasificaci´n de Ecuaciones Cuasilineales o 2.1.1. Ejercicios Resueltos . . . . . . . 2.1.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . 2.2. Ecuaciones Hiperb´licas . . . . . . . . . o 2.2.1. Ejercicios Resueltos . . . . . . . 2.2.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . 2.3. Ecuaciones Parab´licas . . . . . . . . . . o 2.3.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . 2.3.2. Ejercicios propuestos .. . . . . .
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1 1 1 11 12 12 22 23 23 38 39 39 39 53 54 55 65 67 67 81

de Segundo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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´ INDICE GENERAL

Introducci´n o
En esta memoria se recopilan una serie de problemas de la materia de quinto curso de la licenciatura de Ciencias matem´ticas de la Universidadde Santiago a de Compostela denominada Ecuaciones en Derivadas Parciales. La intenci´n es proporcionar al alumnado interesado en esta materia proo blemas relacionados con los distintos tipos de problemas abordados a lo largo de la materia. As´ pues resolveremos en el primer cap´ ı ıtulo problemas de primer orden, tanto cuasilineales como no lineales. En el primer caso, la resoluci´n se o basar´tanto en el m´todo de las curvas caracter´ a e ısticas como en el de las integrales primeras. El c´lculo de las generatrices del cono de Monge ser´n las a a herramientas usadas para la resoluci´n de las ecuaciones no lineales. o El segundo tema est´ dedicado a la clasificaci´n de ecuaciones cuasilineales a o y a la resoluci´n de ecuaciones hiperb´licas y parab´licas. En el primer caso se o o oreducir´n a su forma can´nica por medio de las curvas caracter´ a o ısticas y, cuando ello sea posible, se obtendr´ la soluci´n expl´ a o ıcita del problema tratado. Para la resoluci´n efectiva de las ecuaciones hiperb´licas y parab´licas, usaremos la o o o expresi´n de la soluci´n general obtenida en el desarrollo de las clases te´ricas. o o o En buena parte de los casos la resoluci´n directa de lasintegrales involucradas o no va a ser posible, por lo que se recurrir´ a las propiedades cualitativas de las a funciones que aparecen en la expresi´n de la soluci´n tratada en los problemas o o parab´licos y a los resultados cl´sicos del an´lisis vectorial en los hiperb´licos. o a a o Si bien en muchos casos estas integrales pueden ser resueltas directamente por medio de programaci´n matem´tica, sehan realizado los c´lculos con deo a a talle, por considerar que el desarrollo del c´lculo vectorial es fundamental en la a formaci´n del alumnado al que va dirigido esta materia. o Todas las superficies soluci´n de los problemas resueltos son representados o en el propio ejercicio. Las distintas secciones finalizan con problemas propuestos, aport´ndose la a expresi´n de la soluci´n buscada. o o...