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Transformada de Laplace
Para otros usos de este término, véase Transformación (desambiguación).
La transformada de Laplace de una función f(t) definida (en ecuaciones diferenciales, o en análisis matemático o en análisis funcional) para todos los números positivos t ≥ 0, es la función F(s), definida por:

siempre y cuando la integral esté definida. Cuando f(t) no es una función, sino unadistribución con una singularidad en 0, la definición es


Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento def(t).
es llamado el operador de la transformada de Laplace.
Propiedades
Linealidad

Derivación




Integración

Dualidad

Desplazamiento de la frecuencia

Desplazamiento temporal


Nota: es la función escalón unitario.
Desplazamiento potencia n-ésima

Convolución

Transformada de Laplace de una función con periodo p

Condiciones de convergencia
(que crece más rápido que) no pueden ser obtenidas por Laplace, ya que , es una función de orden exponencial de ángulos.

Tabla de las transformadas de Laplace más comunes
La siguiente tabla provee la mayoría de las transformaciones de Laplace para funciones de una sola variable.
Debido a que la transformada de Laplace es un operador lineal, la transformada de Laplace de una suma es la suma de la transformada deLaplace de cada término.



Aquí está una lista de las transformadas más comunes. En ella denota a la llamada función de Heaviside o función escalón, que vale 1 cuando su argumento es positivo y 0 cuando su argumento es negativo. Cuando su argumento vale 0 se le suele asignar el valor 1/2, aunque esto no tiene relevancia práctica.




















ID


FunciónDominio en el tiempo


Dominio en la frecuencia

Región de la convergencia
para sistemas causales
1
retaso ideal



1a
impulso unitario






2
enésima potencia retrasada y con
desplazamiento en la frecuencia









2a
n-ésima potencia



2a.1
q-ésima potencia



2a.2
escalón unitario



2b
escalón unitario con retraso





2c
Rampa




2dpotencia n-ésima con cambio de frecuencia





2d.1
amortiguación exponencial



3
convergencia exponencial



3b
exponencial doble




4
seno



5
coseno



5b
Seno con fase



6
seno hiperbólico



7
coseno hiperbólico




8
onda senoidal con
amortiguamiento exponencial









9
onda cosenoidal con
amortiguamiento exponencial10
raíz n-ésima



11
logaritmo natural




12
Función de Bessel
de primer tipo,
de orden n








13
Función de Bessel modificada
de primer tipo,
de orden n










14
Función de Bessel
de segundo tipo,
de orden 0







15
Función de Bessel modificada
de segundo tipo,
de orden 0






16
Función de error






Notasexplicativas
representa la función escalón unitario.
representa la Delta de Dirac.
representa la función gamma.
es la constante de Euler-Mascheroni.
, un número real, típicamente representa tiempo, aunque puede representar cualquier variable independiente.
es la frecuencia angular compleja.
, , , y son números reales.
es un número entero.
sistema causal es un sistema donde la respuestaal impulso h(t) es cero para todo tiempo t anterior a t = 0. En general, el ROC para sistemas causales no es el mismo que el ROC para sistemas anticausales. Véase también causalidad.

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