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CAP´ ITULO XI. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

SECCIONES ´ A. Areas de figuras planas. B. C´lculo de vol´menes. a u C. Longitud de curvas planas. D. Ejercicios propuestos.

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´ A. AREAS DE FIGURAS PLANAS.

En Geometr´ Elemental se conocen las f´rmulas para hallar el ´rea de cualıa o a quier regi´n limitada por una poligonal cerrada. Ahora bien, si una regi´n o o est´ limitada poralguna l´ a ınea curva, como es el c´ ırculo, el ´rea se expresa a como un l´ ımite de las ´reas de poligonales “pr´ximas”. El procedimiento a o descrito en el cap´ ıtulo anterior para definir el concepto de integral de una funci´n consiste precisamente en aproximar la funci´n por funciones escao o lonadas; si consideramos una funci´n y = f (x) no negativa en un intervalo o [a, b], la integralinferior es el l´ ımite de la suma de las ´reas de los rect´ngua a los inscritos en la regi´n limitada por la curva y = f (x), el eje OX y las o rectas x = a y x = b, y la integral superior es el l´ ımite de las ´reas de los a rect´ngulos circunscritos a dicha regi´n. De este modo podemos definir el a o a ´rea de dicha regi´n como la integral de la funci´n f en el intervalo [a, b]. o o En general, Dadauna funci´n y = f (x) integrable en un intervalo [a, b], el ´rea de la o a regi´n limitada por la funci´n, el eje OX y las rectas x = a y x = b se define o o como
b

A=
a

|f (x)| dx.

Observaci´n: El valor absoluto de la funci´n es debido a que en los intero o valos donde la funci´n es negativa, la integral tambi´n es negativa y su valor o e es opuesto al del ´rea correspondiente. a En lapr´ctica, para eliminar el valor absoluto en el integrando, debemos a determinar los intervalos de [a, b] donde la funci´n es positiva o negativa y o descomponer la integral en suma de integrales correspondientes a cada uno de los intervalos indicados colocando el signo adecuado. As´ en la figura ı, adjunta, el ´rea se expresa como a
r s b

A=
a

f (x) dx −
r

f (x) dx +
s

f (x) dx.38

En particular, si la funci´n est´ expresada en forma param´trica x = x(t), y = o a e y(t), el ´rea viene expresada como a
b t1

A=
a

y dx =
t0

y(t) · x (t) dt,

donde a = x(t0 ), b = x(t1 ). Regiones m´s generales que las descritas son aquellas que est´n limitadas a a por dos funciones y = f (x), y = g(x) entre dos rectas verticales x = a y x = b. En este caso el ´rea seexpresa mediante la f´rmula a o
b

A=
a

|f (x) − g(x)| dx.

En el ejemplo de la figura, el ´rea se descompone como: a
r s b

A=
a

[g(x) − f (x)] dx +
r

[f (x) − g(x)] dx +
s

[g(x) − f (x)] dx.

Si la regi´n est´ limitada por dos curvas y = f (x), y = g(x) entre dos o a rectas horizontales y = c e y = d, consideramos las funciones inversas e integramos respecto a la variable y.El ´rea se expresa entonces como a
d

A=
c

|f −1 (y) − g −1 (y)| dy.

En el ejemplo de la figura, dicha integral se descompone como
r

A=
c

[f −1 (y) − g −1 (y)] dy +
r

d

[g −1 (y) − f −1 (y)] dy.

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En los ejercicios que siguen veremos ejemplos de todas las situaciones planteadas. Al ser v´lidas aqu´ todas las propiedades de las integrales obtenidas a ı en el cap´ıtulo anterior, aplicaremos siempre los teoremas fundamentales de la integral. Omitiremos en la mayor´ de los casos el c´lculo de las primiıa a tivas pues ya se han realizado en el cap´ ıtulo 7. Nos limitaremos a escribir el resultado de dicha primitiva y a indicar las sustituciones en los extremos de integraci´n. S´ es muy conveniente tener una idea aproximada de la reo ı presentaci´n gr´fica de lasfunciones involucradas para conocer la posici´n o a o relativa de las mismas y los intervalos de integraci´n. Es importante tamo bi´n observar las simetr´ de las figuras para as´ poder escribir f´rmulas e ıas ı o m´s sencillas para el ´rea de las mismas. a a

PROBLEMA 11.1

Calcular el ´rea de la regi´n limitada por la gr´fica de la funci´n a o a o f y el eje X en el intervalo indicado: a) f...