trabajos

Chi cuadrado
Pruebas chi-cuadrado de ajuste e independencia
Las pruebas chi-cuadrado son un grupo de contrastes de hipótesis que sirven para comprobar afirmaciones acerca de las funciones de probabilidad (o densidad) de una o dos variables aleatorias.
Se aplican en dos situaciones básicas:
a)     Cuando queremos comprobar si una variable, cuya descripción parece adecuada, tiene unadeterminada función de probabilidad. La prueba correspondiente se llama chi-cuadrado de ajuste.
b)     Cuando queremos averiguar si dos variables (o dos vías de clasificación) son independientes estadísticamente. En este caso la prueba que aplicaremos ser la chi-cuadrado de independencia o chi-cuadrado de contingencia.
Chi-cuadrado de ajuste
En una prueba de ajuste la hipótesis nula establece que unavariable X tiene una cierta distribución de probabilidad con unos determinados valores de los parámetros. El tipo de distribución se determina, según los casos, en función de: La propia definición de la variable, consideraciones teóricas al margen de esta y/o evidencia aportada por datos anteriores al experimento actual.
A menudo, la propia definición del tipo de variable lleva implícitos losvalores de sus parámetros o de parte de ellos; si esto no fuera así dichos parámetros se estimarán a partir de la muestra de valores de la variable que utilizaremos para realizar la prueba de ajuste.
Como en casos anteriores, empezaremos definiendo las hipótesis.
Hipótesis nula: X tiene distribución de probabilidad f(x) con parámetros y1,..., yp
Hipótesis alternativa: X tiene cualquier otradistribución de probabilidad.
Es importante destacar que el rechazo de la hipótesis nula no implica que sean falsos todos sus aspectos sino únicamente el conjunto de ellos; por ejemplo, podría ocurrir que el tipo de distribución fuera correcto pero que nos hubiésemos equivocado en los valores de los parámetros.
Obviamente, necesitaremos una muestra de valores de la variable X. Si la variable es discretay tiene pocos valores posible estimaremos las probabilidades de dichos valores mediante sus frecuencias muestrales; si la variable es continua o si es una discreta con muchos o infinitos valores estimaremos probabilidades de grupos de valores (intervalos).
Metodológicamente, la prueba se basa en la comparación entre la serie de frecuencias absolutas observadas empíricamente para los valores dela variable (Oi) y las correspondientes frecuencias absolutas teóricas obtenidas en base a la función de probabilidad supuesta en la hipótesis nula (Ei).
Así pues, una vez calculadas las frecuencias absolutas de cada valor o intervalo de valores, obtendremos el número total de observaciones de la muestra (T) sumando las frecuencias observadas

 Para calcular las frecuencias esperadasrepartiremos este número total de observaciones (T) en partes proporcionales a la probabilidad de cada suceso o grupo de sucesos. Para ello calcularemos dichas probabilidades utilizando la función de probabilidad definida en la hipótesis nula f(x), de modo que, cada valor Ei tendrá la siguiente expresión:

Por tanto, tendremos los siguientes datos para la prueba:
 
Valor de la variable
x1
x2
x3
...xi
...
xk
Frecuencias observadas
O1
O2
O3
...
Oi
...
Ok
Frecuencias esperadas
E1
E2
E3
...
Ei
...
Ek
 
Si la hipótesis nula es cierta, las diferencias entre valores observados y esperados (que siempre existirán por tratarse de una muestra aleatoria) son atribuibles, exclusivamente, al efecto del azar. En estas condiciones, se puede calcular un parámetro que depende de ambos,cuya distribución se ajusta a una chi-cuadrado.

 Si, por el contrario, la hipótesis nula fuera falsa los Ei ya no serían, realmente, los valores esperados de las frecuencias; por tanto, las diferencias entre los valores "esperados" y los observados reflejarían no sólo el efecto del azar sino también las diferencias entre los Ei y la auténtica serie de valores esperados (desconocida) Como...