trabajos

Problemas de dinámica de rotación
Problema 1
Un disco de 0.6 m de radio y 100 kg de masa, gira inicialmente con una velocidad de 175 rad/s. Se aplican los frenos que ejercen un momento de M= -2·t Nm. Determinar
la aceleración angular en función del tiempo
la velocidad angular en función del tiempo
el ángulo girado en función del tiempo.
El momento angular inicial y en el instante t=18 s.Representar el momento M en función del tiempo. Comprobar que el impulso angular∫0tM⋅dt  (área) es igual a la variación de momento angular.
La velocidad, aceleración tangencial y normal de un punto de la periferia del disco en dicho instante. Representar estas magnitudes.
 Solución
Momento de inercia
I=12100⋅0.62=18 kgm2
Ecuación de la dinámica de rotación
I·α=M, α=-t/9 rad/s2 la aceleraciónangular no es constante
Calculamos la velocidad angular ω y el desplazamiento angular θ.
ω−ω0=∫t0tα⋅dt  ω−175=∫0t(−t9)⋅dt  ω=175−t218 rad/sθ−θ0=∫t0tω⋅dt  θ=∫0t(175−t218)⋅dt  θ=175t−t354 rad
Momento angular, L=Iω
t=0, ω=175, L=3150 kgm2/s
t=18, ω=157, L=2826 kgm2/s
Impulso angular
L−L0=∫t0tM⋅dt  L−3150=∫0t(−2t)⋅dt L=3150−t2 kg⋅m2/s
En el instante t=18 s, L=2826 kgm2/s

La representacióndel momento M en función del tiempo t es una recta. El ´rea del triángulo de la figura es
−18⋅362=−324
que es el impulso angular, igual a la diferencia entre el momento angular final e inicial

Para t=18 s
Aceleración tangencial, at=α·R=(-18/9)·0.6=-1.2 m/s2
Aceleración normal, an=ω2·R=1572·0.6=14789.6 m/s2
En la figura, se  representa la velocidad, tangente a la trayectoria circular, laaceleración tangencial de signo contrario a la velocidad, y la aceleración normal dirigida hacia el centro. Estas dos componentes de la aceleración no están dibujadas a escala.
Problema 2
Un bloque de 2000 kg está suspendido en el aire por un cable de acero que pasa por una polea y acaba en un torno motorizado. El bloque asciende con velocidad constante de 8 cm/s. El radio del tambor del torno esde 30 cm y la masa de la polea es despreciable.
¿Cuánto vale el momento que ejerce el cable sobre el tambor del torno?
¿Cuánto vale la velocidad angular del tambor del torno?
¿Qué potencia tiene que desarrollar el motor?.Calcular el trabajo realizado durante 10 s
 Solución
Velocidad constante del bloque v=0.08 m/s
Tensión de la cuerda, es el peso del bloque, F=2000·9.8=19600 kgMomento, M=F·r=19600·0.3=5880 N·m
Velocidad angular, ω=v/r=0.08/0.3=4/15 rad/s
Potencia, P=M·ω=5880·4/15=1568 W
Trabajo, W=M·θ=P·t=1568·10=15680 J
Problema 3

El sistema de la figura está inicialmente en reposo. El bloque de 30 kg está a 2 m del suelo. La polea es un disco uniforme de 20 cm de diámetro y 5 kg de masa. Se supone que la cuerda no resbala sobre la polea. Encontrar:
La velocidad del bloquede 30 kg justo antes de tocar el suelo.
La velocidad angular de la polea en ese instante.
Las tensiones de la cuerda.
El tiempo que tarda el bloque de 30 kg en tocar el suelo.
(Resolver el problema por dinámica y aplicando el balance energético)
 Solución

Escribimos las ecuaciones del movimiento
Del movimiento cada uno de los bloques
Del movimiento de rotación del disco30⋅9.8−T1=30⋅aT2−20⋅9.8=20⋅aT1⋅0.1−T2⋅0.1=(125⋅0.12)α
La relación entre la aceleración de los bloques a y la aceleración angular α del disco es
a=α·0.1
Resolviendo el sistema de ecuaciones, a=1.87 m/s2
Si el bloque de 30 kg cae 2 m partiendo del reposo.
2=12at2v=a⋅t⎫⎭⎬v=2.73 m/s
Balance energético

En la figura se compara la situación inicial y la final y aplicamos el principio de conservación de la energía30⋅9.8⋅2=20⋅9.8⋅2+1220v2+1230v2+12(125⋅0.12)ω2
Relacionamos la velocidad v de los bloques y la velocidad angular ω del disco, v=ω·0.1
El resultado es v=2.73 m/s, el mismo que hemos obtenido por dinámica
Problema 4
Sobre un plano horizontal está situado un cuerpo de 50 kg que está unido mediante una cuerda, que pasa a través de una polea de 15 kg a otro cuerpo de 200 kg. Sabiendo que el...