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LOGICA SIMBOLICA O MATEMATICA
La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación. La lógica estudia las reglas de deducción formales, las capacidades expresivas de los diferentes lenguajes formales y las propiedades meta lógicas de los mismos.
En un nivelelemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no válido un argumento dado dentro de un determinado sistema formal. En un nivel avanzado, la lógica matemática se ocupa de la posibilidad de axiomatizar las teorías matemáticas, de clasificar su capacidad expresiva, y desarrollar métodos computacionales útiles en sistemas formales. La teoría de la demostración y lamatemática inversa son dos de los razonamientos más recientes de la lógica matemática abstracta. Debe señalarse que la lógica matemática se ocupa de sistemas formales que pueden no ser equivalentes en todos sus aspectos, por lo que la lógica matemática no es método de descubrir verdades del mundo físico real, sino sólo una fuete posible de modelos lógicos aplicables a teorías científicas, muyespecialmente a la matemática convencional.
La lógica matemática no se encarga por otra parte del concepto de razonamiento humano general o del proceso creativo de construcción de demostraciones matemáticas mediante argumentos rigurosos pero hechos usando lenguaje informal con algunos signos o diagramas, sino sólo de demostraciones y razonamientos que pueden ser completamente formalizados en todos susaspectos.
Sistemas lógicos La lógica matemática se interesa por tres tipos de aspectos de los sistemas lógicos:
• La sintaxis de los lenguajes formales, es decir, las reglas de formación de símbolos interpretables construidos a partir de undeterminado alfabeto, y las reglas de inferencia. En concreto el conjunto de teoremas deducibles de un conjunto de axiomas.
• La semántica de los lenguajes formales, es decir, los significados atribuibles a un conjunto de signos, así como el valor de verdad atribuible a algunas de las proposiciones. En general las expresiones de un sistema formal interpretadas en un modelo son ciertas o falsas, porlo que un conjunto de proposiciones que admite un modelo es siempre consistente.
• Los aspectos meta lógicos de las lenguas formales, como por ejemplo la completitud, la consistencia, la compacidad o la existencia de modelos de cierto tipo, etc.
Los diferentes tipos de sistemas lógicos pueden ser clasificados en:
• Lógica proposicional (Lógica de orden cero): En ella existe símbolos paravariables proposicionales (que pueden ser interpretados informalmente como enunciados que pueden ser ciertos o falsos) además de símbolos para diversas conectivas. Estas conectivas permiten formar expresiones complejas a partir de variables proposicionales simples. Un sistema lógico puede incluir diversos tipos de conectivas, entre ellos, la lógica clásica suele hacer uso de los siguientes:
¬ se lee“no”
∧ se lee “y”
∨ se lee “o”
→ se lee “…implica…” o “si,…entonces…,”
↔ se lee “…equivalente con…” o "…si, sólo sí…"
Dentro de la lógica proposicional pueden distinguirse varios tipos, por ejemplo restringiendo las posibilidades de interpretación semántica se obtiene la lógica intuicionista y ampliando la complejidad de las interpretaciones semánticas se obtienen las lógicas modales.
• Lógica depredicados: Esta no incluye símbolos para variables proposicionales sino que las proposiciones más elementales son predicados atómicos (formados a partir de variables interpretables como objetos singulares, relaciones (entre estas frecuentemente se usan = , , etc.), funciones matemáticas. Además símbolos para representar variables, relaciones y funciones este tipo de lógicas incluyen...