trabajosss

FUNCIONES DE UNA VARIABLE
Juli´an de la Horra
Departamento de Matem´aticas U.A.M.

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Introducci´
on

Una de las primeras necesidades que surgen en las Ciencias Experimentales
es la de poder expresar los valores de una variable en funci´on de los valores
de otra variable. Por ejemplo, podemos estar interesados en expresar:
• El peso de las personas (Y ) en funci´on de su estatura (X).• El peso de las aves de una especie (Y ) en funci´on de su envergadura
(X).
• El nivel medio de contaminaci´on semanal (Y ) en funci´on de las precipitaciones que se han producido (X).
• La altura del oleaje (Y ) en funci´on de la velocidad del viento (X).
• El n´
umero de ejemplares (N ) de una especie en cierto h´abitat en funci´on
del tiempo (T ).
• La concentraci´on de ox´ıgeno en elagua (X) en funci´on del tiempo (T ).
En general, diremos que nos interesa expresar una variable Y en funci´on
de otra variable X. La variable Y puede recibir distintos nombres: variable dependiente, variable de inter´es, variable respuesta, ... La variable X
tambi´en puede recibir diferentes nombres: variable independiente, variable
explicativa, ...
El modelo matem´atico adecuado paraexpresar una variable Y en funci´on
de otra variable X es la funci´
on de una variable. Este modelo, no s´olo
permite expresar una variable en funci´on de otra, sino que las herramientas
asociadas a este modelo (l´ımites, derivadas, ...) nos permiten abordar y
expresar, de manera sencilla, muchos aspectos interesantes de la relaci´on
entre las dos variables.

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Funci´
on de una variableDefinici´
on.- Una funci´
on de una variable, y = f (x), es el modelo matem´atico
que nos dice cu´al es el valor de la variable Y para cada posible valor de la
variable X.
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Algunas veces tiene sentido considerar todos los valores de la recta real
como posibles valores de X, otras veces tiene sentido considerar para X
solamente los valores positivos, otras veces consideraremos unintervalo,...
En general, los valores posibles de X reciben el nombre de dominio. •
A continuaci´on, vamos a ir repasando todos los conceptos y herramientas
habitualmente relacionados con las funciones de una variable (continuidad,
derivadas, as´ıntotas, ... ) pero poniendo especial ´enfasis en su utilidad y en
su interpretaci´on.

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Discontinuidades

Definici´
on.- Una funci´on y = f (x)es continua en un punto x0 , cuando:
lim f (x) = lim+ f (x) = f (x0 ). •

x→x−
0

x→x0

Lo m´as importante para nosotros de esta definici´on es entender el significado intuitivo que puede tener una discontinuidad:
Ejemplo 1.- Consideremos la funci´on N = f (t) que expresa el n´
umero
de ejemplares de una especie en una reserva natural en funci´on del tiempo.
Una discontinuidad en uninstante t0 representa una variaci´on brusca en
el n´
umero de ejemplares. Si la discontinuidad tiene un salto hacia abajo,
representa una disminuci´on brusca de la poblaci´on como consecuencia, por
ejemplo, de un desastre natural. Si la discontinuidad presenta un salto hacia
arriba, representa un aumento brusco de la poblaci´on como consecuencia,
por ejemplo, de una suelta de ejemplares pararepoblar la zona. •
En cualquier caso, conviene destacar que la mayor´ıa de las funciones que
vamos a utilizar en las Ciencias Experimentales son funciones continuas.

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Derivadas

La derivada de una funci´on es una herramienta enormemente u
´til para estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funci´on, sus m´aximos,
m´ınimos, ... Pero, sobre todo, es enormemente u´til porque su interpretaci´on
juega un papel central en muchos fen´omenos experimentales.

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Definici´
on.- La derivada de una funci´on y = f (x) en un punto x0 es:
f (x0 + h) − f (x0 )
.
h→0
h

f (x0 ) = lim

Ver la Figura 1 para la interpretaci´on gr´afica. •
La funci´on derivada se suele representar como y = f (x). Por supuesto,
podemos considerar tambi´en la derivada segunda,...