TRACOL3

UNIVESIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD)

Cálculo Diferencial

TRABAJO COLABORATIVO TRES

PRESENTADO POR

DAGOBERTO GOMEZ CÓDIGO 79469690
OMAR IVAN GUTIERREZ CÓDIGO. 79520985
PEDRO ELIAS CASTAÑEDA PEÑA CÓDIGO 79.406.040
JAIME EDUARDO PERILLA CÓDIGO 79393133

Grupo # 100410_219

Tutor
LUIS GERARDO ARGOTY

BOGOTÁ, NOVIEMBRE DE 2014.

INTRODUCCIÓN

Uno de las mayores inconvenientes que setiene al intentar estudiar la derivada de
una función es conocer sus aplicaciones. Esto se debe en gran medida a la poca
asimilación de los conceptos. El cálculo tiene gran aplicación en la ciencia,
tecnología e investigación. La finalidad del cálculo diferencial es el estudio de la
derivada y esta en el desarrollo de la ingeniería permite el estudio de la reducción de
costos en la fabricación deproductos, además de las aplicaciones en administración,
economía y matemáticas para el cálculo de áreas.

Durante el desarrollo de esta guía se abordaran los temas como derivadas,
derivadas de orden superior, reglas específicas para la aplicación de las derivadas,
ecuaciones de rectas tangentes a la curva y la aplicación de estas herramientas en
problemas de la vida cotidiana.

1. Halle, paso apaso, las coordenadas, (x, y), del punto crítico de las siguientes
ecuaciones. ¿Diga si ese punto crítico es un máximo o un mínimo? ¿Por qué?
𝑦 = 𝑥 2 − 3𝑥 − 2
Solución:
Hallamos la derivada de la función
𝑦 ′ = 2𝑥 − 3
Igualando la ecuación a cero
2𝑥 − 3 = 0
2𝑥 = 3
3
𝑥 = 2 Valor crítico
Reemplazando en la función tenemos
3
3 2
3
𝑓( ) = ( ) − 3( ) − 2
2
2
2
3
9 9
𝑓( ) = − −2
2
4 2
3
17
𝑓( ) = −
2
4
Lafunción 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 3𝑥 − 2 es una parábola cóncava hacia arriba, por lo
3

17

tanto el punto crítico (2 , − 4 ) se considera un valor crítico mínimo tal y como
lo muestra la imagen:

2. 𝑦 = 3𝑥 2 − 12𝑥
Solución:
Hallamos la derivada de la función
𝑦 ′ = 6𝑥 − 12
Igualando la ecuación a cero
6𝑥 − 12 = 0
6𝑥 = 12
12
𝑥=
6
𝑥 = 2 Valor crítico
Reemplazando en la función tenemos
𝑓(2) = 3(2)2 − 12(2)𝑓(2) = 3(4) − 24
𝑓(2) = 12 − 24
𝑓(2) = −12
La función 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 12𝑥 es una parábola cóncava hacia arriba, por lo
tanto el punto crítico (2, −12) se considera un valor crítico mínimo tal y como
lo muestra la imagen:

3. Usando la regla de L’Hopital, paso a paso, halle el límite 3, 4 y 5
3

lim𝑥→0

√3𝑥+1−1
𝑥

Solución:
Recordando la regla de L’Hopital tenemos
𝑓(𝑥)
𝑓′(𝑥)
= lim
𝑥→𝑐 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑐 𝑔′(𝑥)
lim3

𝑓(𝑥) = √3𝑥 + 1 − 1
𝑔(𝑥) = 𝑥
Hallamos 𝑓′(𝑥) mediante la regla de la cadena:
𝑈(𝑥) = 3𝑥 + 1
1

3

𝑓(𝑢) = √𝑢 − 1 = 𝑢3 − 1
𝑈 ′ (𝑥) = 3
1
𝑓 ′ (𝑢) = 2
3𝑢3
𝑓′(𝑥) = 𝑓′(𝑢) ∗ 𝑈′(𝑥)
𝑓′(𝑥) = 3 (

1

2)
3𝑢3

=

1

Reemplazando el valor de 𝑢 tenemos
𝑓′(𝑥) =

1
3

√(3𝑥 + 1)2

Hallamos ahora 𝑔′(𝑥)
𝑔′(𝑥) = 1
Aplicamos ahora el límite

2

𝑢3

1
√(3𝑥 + 1)2
√3𝑥 + 1 − 1
lim
= lim
𝑥→0
𝑥→0
𝑥
1
3

3

1
1
1
lim 3
=3=3
=1
𝑥→0 √(3𝑥 + 1)2
√(3(0) + 1)2 √12
1−𝑥 2

4. lim𝑥→1 sin(𝜋𝑥)
Solución:
𝑓(𝑥) = 1 − 𝑥 2
𝑔(𝑥) = sin(𝜋𝑥)

Hallamos 𝑓′(𝑥)
𝑓 ′ (𝑥) = −2𝑥

Hallamos 𝑔′(𝑥) mediante la regla de la cadena
𝑈(𝑥) = 𝜋𝑥
𝑈′(𝑥) = 𝜋
𝑔(𝑢) = sin(𝑢)
𝑔′(𝑢) = cos(𝑢)

𝑔′(𝑥) = 𝑔′(𝑢) ∗ 𝑈′(𝑥)
𝑔′(𝑥) = 𝜋 cos(𝜋𝑥)

Aplicamos ahora el límite
1 − 𝑥2
−2𝑥
= lim
𝑥→1 sin(𝜋𝑥)
𝑥→1 𝜋 cos(𝜋𝑥)
lim

−2𝑥
−2(1)
−2
−2
2
=
=
=
=
𝑥→1 𝜋 cos(𝜋𝑥)
𝜋 cos(𝜋(1)) 𝜋cos(𝜋) 𝜋(−1) 𝜋
lim

5. lim𝑥→0

𝑒 2𝑥 −1
𝑥

Solución:
𝑓(𝑥) = 𝑒 2𝑥 − 1
𝑔(𝑥) = 𝑥
Hallamos 𝑓 ′ (𝑥) mediante la regla de la cadena
𝑈(𝑥) = 2𝑥
𝑈 ′ (𝑥) = 2
𝑓(𝑢) = 𝑒 𝑢 − 1
𝑓 ′ (𝑢) = 𝑒 𝑢
𝑓 ′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑢) ∗ 𝑈 ′ (𝑥) = 2𝑒 𝑢 = 2𝑒 2𝑥

Hallamos 𝑔′(𝑥)
𝑔(𝑥) = 𝑥
𝑔′ (𝑥) = 1

Aplicamos ahora el límite
𝑒 2𝑥 − 1
2𝑒 2𝑥
= lim
= lim 2𝑒 2𝑥
𝑥→0
𝑥→0 1
𝑥→0
𝑥
2𝑥
2(0)
lim 2𝑒 = 2𝑒
= 2𝑒 0 = 2
lim

𝑥→0

6. Halle paso a paso latercera derivada de:
𝑓(𝑥) = 3 tan(3𝑥)

Solución:
Hallamos la primera derivada de la siguiente manera
𝑑
𝑓 ′ (𝑥) = 3 tan(3𝑥)
𝑑𝑥
𝑑
tan(3𝑥) = 3 sec 2 3𝑥
𝑑𝑥
𝑓 ′ (𝑥) = 3

𝑑
tan(3𝑥) = 3(3 sec 2 3𝑥) = 9 sec 2 3𝑥
𝑑𝑥
𝑓 ′ (𝑥) = 9 sec 2 3𝑥

Hallamos la segunda derivada utilizando la regla de la cadena
𝑑
𝑑
𝑓 ′′ (𝑥) =
9 sec 2 3𝑥 =
9(sec 3𝑥)2
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑓 ′′ (𝑥) = (18 sec 3𝑥)(sec 3𝑥 tan 3𝑥)(3)
𝑓 ′′ (𝑥) = 54 sec 2 3𝑥...