traduccion sheldom ross

problema de la Ruina Jugador
Considere la posibilidad de un jugador que en cada jugada del partido tiene una probabilidad p de ganar una unidad y la probabilidad q = 1 - p de perder una unidad.Suponiendo que sucesiva jugadas del partido son independientes , ¿cuál es la probabilidad de que , a partir de i unidades , la fortuna del jugador llegará a N antes de llegar a 0 ?
Si permitimos que Xndenotan la fortuna del jugador en el tiempo n , entonces el proceso { Xn , n =0 , 1 , 2 , . . . } Es una cadena de Markov con probabilidades de transición
P00 = PNN = 1 ,
Pi, i = 1 p = 1 - Pi , i- 1, i = 1 , 2 , . . . , N -1
Esta cadena de Markov tiene tres clases, a saber , { 0 } , { 1 , 2 , . . . , N -1 } y {N } , el primera y tercera clase que es recurrente y el segundo transitorio. Dadoque cada transitorio estado es visitado sólo un número finito menudo , se deduce que , después de una cierta cantidad finita de tiempo , el jugador o bien alcanzar su meta de N o ir a la quiebra .Vamos Pi , i = 0 , 1 , . . . , N, denota la probabilidad de que , a partir de i , el jugador de fortuna llegará a alcanzar N. Al condicionar el resultado de la juego inicial del juego se obtiene
Pi = PPI1 + QPI- 1 , i = 1 , 2 , . . . , N -1
o de forma equivalente , ya que p + q = 1 ,

pPi + qPi = pPi 1 + qPi- 1
o
Pi +1 - Pi = q/p( Pi - Pi - 1 ) , i = 1 , 2 , . . . , N - 1
Por lo tanto , desdeP0 = 0 , se obtiene a partir de la línea anterior que


Adición de la primera i -1 de estas ecuaciones rendimientos


Ahora, usando el hecho de que P_N = 1, se obtiene que

y por lo tanto
(1)Tenga en cuenta que, N → ∞,



Por lo tanto, si p> 12, hay una probabilidad positiva de que la fortuna del jugador aumentará indefinidamente, mientras que si el jugador tendrá, conprobabilidad 1, ir a la quiebra contra un adversario infinitamente rico.
Ejemplo 1. Supongamos Max y Patty decide voltear centavos, el que viene más cercano a la pared gana. Patty, al ser el mejor jugador,...