Tranformacion de laplace

Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11

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Curso 2o. Ingeniero de Telecomunicación. Ampliación de Matemáticas.

Lección 3.

TRANSFORMACIÓN DE LAPLACE. Curso 2010-11

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Definición y propiedades de la transformación de Laplace

En esta lección presentamos un nuevo procedimiento para la resolución de ecuaciones y sistemas lineales con coeficientesconstantes: el método de la transformación de Laplace, que será especialmente adecuado para el caso no homogéneo con condiciones iniciales en el origen. El uso del concepto de transformación de Laplace es un elemento central del análisis y el diseño de sistemas en la ingeniería. Este tipo de métodos, también llamados métodos operacionales, fue propuesto por el ingeniero inglés O. Heaviside(1850—1925) para resolver las ecuaciones diferenciales que aparecen en el estudio de los circuitos eléctricos ya que permiten pasar de una ecuación diferencial a una ecuación algebraica. Usando estas ideas, Heaviside fue capaz de resolver problemas sobre la propagación de la corriente eléctrica a lo largo de cables que no podían ser resueltos usando los métodos clásicos. Si bien los métodos operacionalesdemostraron ser muy potentes en sus aplicaciones, fueron catalogados como poco rigurosos. Ello puede explicar que el reconocimiento de las aportaciones de Heaviside llegara tardíamente. La transformación de Laplace, introducida por P.S. Laplace un siglo antes en sus estudios sobre probabilidad, fue posteriormente utilizada para proporcionar una base matemática sólida al cálculo operacional deHeaviside. La idea es trasladar el problema desde el espacio original de las funciones y(t) soluciones de la ecuación diferencial –el dominio del tiempo– al espacio de sus transformadas Y (s) –el dominio de la frecuencia– donde el problema se expresa en términos de resolver una ecuación algebraica lineal, cuya solución deberá ser antitransformada para obtener la solución de la ecuación diferencialoriginal. El método de la transformación de Laplace, en razón de su capacidad para algebrizar los problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, es ampliamente utilizado en la teoría de circuitos y en la teoría de sistemas lineales de control. Estas aplicaciones se estudian a fondo en las asignaturas correspondientes, nosotros daremos una somera introducción al estudio de los sistemas lineales eningeniería, presentando el concepto básico de función de transferencia.

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Lección 3. Transformación de Laplace

Definición. Sea f : [0, ∞) → R una función continua o continua a trozos. La transformada de Laplace de f es la función F definida por Z ∞ f(t)e−st dt F (s) =
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en los valores de s para los que dicha integral impropia es absolutamente convergente. Como los valores de f(t) para t <0, si es que existen, no intervienen en la definición de transformada de Laplace, se suele suponer, simplemente, que f(t) = 0 para t < 0 y se dice, en ese caso, que f es una función causal. Ejemplos. Las siguientes funciones f(t) tienen la transformada de Laplace F (s) indicada f(t) → F (s) f(t) → F (s) 1 n! (s > 0) (2) tn → n+1 (s > 0) (1) 1 → s s 1 1 at (3) sen (t) → 2 (s > 0) (4) e → (s > a) s+1 s−a Observaciones. (1) Vemos en todos estos ejemplos que el conjunto de valores s en los que está definida la correspondiente transformada de Laplace es un intervalo de la forma (σ f , ∞). Esto es R∞ cierto en general porque si la integral 0 f (t)e−st dt converge absolutamente para un cierto valor del parámetro s entonces, por el criterio de comparación, también converge para todos los valoresmayores que el dado. El ínfimo σ f de los valores de s para los que está definida la transformada de Laplace F (s) de una función f(t) se llama abscisa de convergencia y puede probarse que la función F es continua en (σ f , ∞) y que lims→∞ F (s) = 0. (2) No hay ningún problema en considerar valores complejos del parámetro s. Si s = σ + jω, entonces ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯e−st ¯ = ¯e−(σ+jω)t ¯ =...