Tranformaciones Lineales

Transformaciones Lineales
Transformaciones Lineales
Desde el punto de vista de la algebra lineal, las transformaciones más importantes son aquellas que conservan las combinaciones lineales. Estas también son llamadas como transformaciones lineales o mapeos lineales. Transformación lineal es una parte esencial en la álgebra lineal. Transformaciones lineales entre dos espacios vectoriales U y Vrelaciona el mapeo T: U → V que satisface estas condiciones:
1). T (U1 + U2) = T (U1) + T (U2), donde U1 y U2 son vectores en U 2). T (Au) = A T (u), donde A es cualquier cifra escalar
La primera condición se conoce como la aditividad mientras que la segunda se conoce como homogeneidad. Puede ser definido como una función entre dos espacios vectoriales, la cual conserva operaciones demultiplicación escalar y suma. De acuerdo con la álgebra abstracta, son homomorfismo de espacios vectoriales .
Toda transformación que conserva combinaciones lineales es una transformación lineal. Otra propiedad evidente es que cualquier transformación lineal mapas 0 a 0: T (0) = 0. . Este sigue, por ejemplo, el hecho de que
T (x) = T (x + 0) = T (x) + T (0)
Para alguna x 2 V, lacual sólo puede ocurrir si T (0) = 0.
Representar una transformación lineal en términos de una matriz es una manera ingeniosa, ya que permitirá cálculos concretos en naturaleza. En otras palabras, se puede decir que una matriz puede dar el modelo básico de estas transformaciones. Por ejemplo, si Q es una matriz de m-by-n, en ese caso, la reglaT (Au) = A T (u) representa la transformación Rn →Rm.
La transformación Id: V → V definida por Id(x) = x se llama transformación de la identidad. Esta transformación es claramente lineal.
Propiedades generales de transformaciones lineales
Suponga que V es un espacio vectorial dimensional finito sobre F, y W es otro espacio vectorial (no necesariamente de dimensión finita) sobre F. Dado una base de V, existe una transformación lineal única T: V→ W tomando cualquier valor que deseamos en la base dada de V, y, además, sus valores sobre la base de V determinan unicamente la transformación lineal.
Además, sea V y W espacios vectoriales sobre F. Entonces, cada transformación lineal T: V → W es determinado únicamente por sus valores sobre una base de V. Por otra parte, si v1. . . vn es una base de V y w1, . . . ,wn sonvectores arbitrariosen W, entonces existe una transformación lineal única T: V → W tal que T (vi) = wi para cada i. En otras palabras, hay una transformación lineal única con los valores dados en una base.
Otra propiedad de transformación lineal establece que si V y W son espacios vectoriales sobre F, entonces cualquier combinación lineal de transformaciones lineales con dominio V y objetivo W también es lineal.Así, el conjunto L (V, W) de todas las transformaciones lineales T: V → W es un espacio vectorial sobre F.
Para concluir, hay dos espacios fundamentales asociados con una transformación lineal: su núcleo ker (T) y su imagen im (T). El núcleo y la imagen de una transformación lineal T corresponden con el espacio nulo y espacio de la columna de cualquier matriz que representa T.
Introduccion aLas Transformaciones Lineales
Introducción a las transformaciones lineales
La transformación lineal es una función utilizada para la asignación de un espacio vectorial a otro espacio vectorial con la ayuda de los escalares, la cual satisface la expresión f(a*x+b*y) =a*f(x)+b*f(y).
En otras palabras, se consideran 2 espacios vectoriales, V y W. Una transformación lineal es una gráfica T: V→ Wque satisface dos condiciones:
1). T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2) donde v1 y v2 son vectores en V. 2). T (xV) = x T (v) donde x es una escala
Una transformación lineal puede ser sobreyectiva o inyectiva. En el caso que, W y V tengan dimensiones idénticas, entonces T puede llegar a ser invertible, esto es, se encuentra T-1 el cual satisface la condición TT-1 = I. Asimismo, T (0) será siempre 0....