TranformacionesLineales
Páginas: 5 (1049 palabras)
Publicado: 25 de mayo de 2015
ÁLGEBRA LINEAL
GEOMETRÍA DE LAS
TRANSFORMACIONES LINEALES
1. Definición
2. Representación matricial
3. Geometría de las transformaciones lineales
4. Resumen
5. Otros operadores
6. Ejemplos
Profa.: M. I. Norma Patricia López Acosta
1. Definición
Si el dominio de una función f es Rn y el codominio es Rm
(m y n quizás iguales), entonces f se denomina
transformación de Rn a Rm, y se dice que fmapea
(aplica o transforma) Rn en Rm. Esto se denota
escribiendo f: Rn→Rm.
Ilustración:
w1 = f1 (x1 , x 2 ,K, x n )
w2 = f 2 (x1 , x 2 ,K, x n )
M
M
wm = f m (x1 , x 2 ,K, x n )
Si denotamos:
T ( x1 , x 2 ,K, x n ) = (w1 , w2 ,K, wm )
Entonces se puede escribir:
T : Rn → Rm
2. Representación matricial
Entonces, una transformación lineal T: Rn→Rm puede estar
definida por ecuaciones de laforma:
w1 = a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n
w2 = a 21 x1 + a 22 x 2 + L + a 2 n x n
M
M
M
M
wm = a m1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n
En notación matricial:
w1 a11
w a
2 = 21
M M
wm a m1
a12
a 22
M
am2
L a1n x1
L a 2 n x 2
M M
L a mn x n
En notación más compacta:
W=AX
La matriz A se conoce como matriz asociada a la transformación
(essu representación matricial ).
Ejemplo 1. La transformación lineal T: R4→R3, definida
por las ecuaciones:
w1 = 2 x1 − 3 x 2 + x3 − 5 x 4
w2 = 4 x1 + x 2 − 2 x3 + x 4
w3 = 5 x1 − x 2 + 4 x3
Se puede expresar en forma matricial como:
x1
w1 2 − 3 1 − 5
w = 4 1 − 2 1 x 2
2
x
3
w3 5 − 1 4 0 x
4
La imagen del vector (x1,x2,x3,x4) = (1,-3,0,2), sepuede calcular con:
1
w1 2 − 3 1 − 5 1
w = 4 1 − 2 1 − 3 = 3
0
2
w3 5 − 1 4 0 8
2
3. Geometría de las transformaciones lineales
OPERADORES REFLEXIÓN (en el plano)
y
Reflexión respecto al eje “y”
(-x,y)
(x,y)
x
w=T(x)
y
x
Reflexión respecto al eje “x”
(x,y)
x
x
w=T(x)
(x,-y)
y
− 1 0
0 1
1 0
0 −1
Reflexiónrespecto al eje “y=x”
(y,x)
y=x
w=T(x)
x
(x,y)
x
0 1
1 0
3. Geometría de las transformaciones lineales
OPERADORES REFLEXIÓN (en el espacio)
Reflexión respecto al plano “xy”
(x,y,z)
x
y
x
w
(x,y,0)
1 0 0
0 1 0
0 0 −1
Reflexión respecto al plano “xz”
(x,-y,z)
(x,y,z)
x
w
y
x
Reflexión respecto al plano “yz”
z
(-x,y,z)
w
x
x
1 0 0
0 − 1 0
0 0 1(x,y,z)
y
− 1 0 0
0 1 0
0 0 1
3. Geometría de las transformaciones lineales
OPERADORES PROYECCIÓN ORTOGONAL (en el plano)
Proyección ortogonal sobre el eje “x”
y
(x,y)
x
(x,0)
w
x
Proyección ortogonal sobre el eje “y”
y
(0,y)
w
1 0
0 0
(x,y)
x
x
0 0
0 1
3. Geometría de las transformaciones lineales
OPERADORES PROYECCIÓN ORTOGONAL (en el espacio)Proyección ortogonal sobre el plano “xy”
(x,y,z)
x
y
x
w
(x,y,-z)
z
Proyección ortogonal sobre el plano “xz”
(x,0,z)
(x,y,z)
x
w
y
x
1 0 0
0 0 0
0 0 1
Proyección ortogonal sobre el plano “yz”
z
(0,y,z)
w
x
x
1 0 0
0 1 0
0 0 0
(x,y,z)
y
0 0 0
0 1 0
0 0 1
3. Geometría de las transformaciones lineales
OPERADOR ROTACIÓN (en el plano)
Rotación através de un ángulo “θ”
y
(w1 ,w2 )
w
θ
(x,y)
x
x
cos θ
senθ
− senθ
cos θ
3. Geometría de las transformaciones lineales
OPERADORES CONTRACCIÓN Y DILATACIÓN (en el plano)
y
Contracción con factor k sobre R2
x
w
(x,y)
(kx,ky)
x
k 0
0 k
Dilatación con factor k sobre R2
y
w
x
(kx,ky)
(x,y)
x
k 0
0 k
3. Geometría de las transformaciones lineales
OPERADORESCONTRACCIÓN Y DILATACIÓN (en el espacio)
z
Contracción con factor k sobre R3
x
w
(x,y,z)
(kx,ky,kz)
y
k 0 0
0 k 0
0 0 k
x
z
Dilatación con factor k sobre R3
w (kx,ky,kz)
x
(x,y,z)
y
x
k 0 0
0 k 0
0 0 k
4. Resumen
Reflexiones
Transforman un vector (o un
punto) en su imagen simétrica.
Proyecciones
Transforman cada vector en su
proyección ortogonal....
GEOMETRÍA DE LAS
TRANSFORMACIONES LINEALES
1. Definición
2. Representación matricial
3. Geometría de las transformaciones lineales
4. Resumen
5. Otros operadores
6. Ejemplos
Profa.: M. I. Norma Patricia López Acosta
1. Definición
Si el dominio de una función f es Rn y el codominio es Rm
(m y n quizás iguales), entonces f se denomina
transformación de Rn a Rm, y se dice que fmapea
(aplica o transforma) Rn en Rm. Esto se denota
escribiendo f: Rn→Rm.
Ilustración:
w1 = f1 (x1 , x 2 ,K, x n )
w2 = f 2 (x1 , x 2 ,K, x n )
M
M
wm = f m (x1 , x 2 ,K, x n )
Si denotamos:
T ( x1 , x 2 ,K, x n ) = (w1 , w2 ,K, wm )
Entonces se puede escribir:
T : Rn → Rm
2. Representación matricial
Entonces, una transformación lineal T: Rn→Rm puede estar
definida por ecuaciones de laforma:
w1 = a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n
w2 = a 21 x1 + a 22 x 2 + L + a 2 n x n
M
M
M
M
wm = a m1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n
En notación matricial:
w1 a11
w a
2 = 21
M M
wm a m1
a12
a 22
M
am2
L a1n x1
L a 2 n x 2
M M
L a mn x n
En notación más compacta:
W=AX
La matriz A se conoce como matriz asociada a la transformación
(essu representación matricial ).
Ejemplo 1. La transformación lineal T: R4→R3, definida
por las ecuaciones:
w1 = 2 x1 − 3 x 2 + x3 − 5 x 4
w2 = 4 x1 + x 2 − 2 x3 + x 4
w3 = 5 x1 − x 2 + 4 x3
Se puede expresar en forma matricial como:
x1
w1 2 − 3 1 − 5
w = 4 1 − 2 1 x 2
2
x
3
w3 5 − 1 4 0 x
4
La imagen del vector (x1,x2,x3,x4) = (1,-3,0,2), sepuede calcular con:
1
w1 2 − 3 1 − 5 1
w = 4 1 − 2 1 − 3 = 3
0
2
w3 5 − 1 4 0 8
2
3. Geometría de las transformaciones lineales
OPERADORES REFLEXIÓN (en el plano)
y
Reflexión respecto al eje “y”
(-x,y)
(x,y)
x
w=T(x)
y
x
Reflexión respecto al eje “x”
(x,y)
x
x
w=T(x)
(x,-y)
y
− 1 0
0 1
1 0
0 −1
Reflexiónrespecto al eje “y=x”
(y,x)
y=x
w=T(x)
x
(x,y)
x
0 1
1 0
3. Geometría de las transformaciones lineales
OPERADORES REFLEXIÓN (en el espacio)
Reflexión respecto al plano “xy”
(x,y,z)
x
y
x
w
(x,y,0)
1 0 0
0 1 0
0 0 −1
Reflexión respecto al plano “xz”
(x,-y,z)
(x,y,z)
x
w
y
x
Reflexión respecto al plano “yz”
z
(-x,y,z)
w
x
x
1 0 0
0 − 1 0
0 0 1(x,y,z)
y
− 1 0 0
0 1 0
0 0 1
3. Geometría de las transformaciones lineales
OPERADORES PROYECCIÓN ORTOGONAL (en el plano)
Proyección ortogonal sobre el eje “x”
y
(x,y)
x
(x,0)
w
x
Proyección ortogonal sobre el eje “y”
y
(0,y)
w
1 0
0 0
(x,y)
x
x
0 0
0 1
3. Geometría de las transformaciones lineales
OPERADORES PROYECCIÓN ORTOGONAL (en el espacio)Proyección ortogonal sobre el plano “xy”
(x,y,z)
x
y
x
w
(x,y,-z)
z
Proyección ortogonal sobre el plano “xz”
(x,0,z)
(x,y,z)
x
w
y
x
1 0 0
0 0 0
0 0 1
Proyección ortogonal sobre el plano “yz”
z
(0,y,z)
w
x
x
1 0 0
0 1 0
0 0 0
(x,y,z)
y
0 0 0
0 1 0
0 0 1
3. Geometría de las transformaciones lineales
OPERADOR ROTACIÓN (en el plano)
Rotación através de un ángulo “θ”
y
(w1 ,w2 )
w
θ
(x,y)
x
x
cos θ
senθ
− senθ
cos θ
3. Geometría de las transformaciones lineales
OPERADORES CONTRACCIÓN Y DILATACIÓN (en el plano)
y
Contracción con factor k sobre R2
x
w
(x,y)
(kx,ky)
x
k 0
0 k
Dilatación con factor k sobre R2
y
w
x
(kx,ky)
(x,y)
x
k 0
0 k
3. Geometría de las transformaciones lineales
OPERADORESCONTRACCIÓN Y DILATACIÓN (en el espacio)
z
Contracción con factor k sobre R3
x
w
(x,y,z)
(kx,ky,kz)
y
k 0 0
0 k 0
0 0 k
x
z
Dilatación con factor k sobre R3
w (kx,ky,kz)
x
(x,y,z)
y
x
k 0 0
0 k 0
0 0 k
4. Resumen
Reflexiones
Transforman un vector (o un
punto) en su imagen simétrica.
Proyecciones
Transforman cada vector en su
proyección ortogonal....
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