Transferencia De Masa

Realizando las definiciones respectivas:

FRACCION MOLAR:
x= mol soluto en la fase liquidamol total en la fase liquida
y= mol soluto en la fase gasmol total en la fase gas
RELACIONES MOLARES:
X= mol soluto en la fase liquidamol I.L. en la fase liquida
Y= mol soluto en la fase gasmol I.G. en la fase gas

* Relacionando ambas definiciones anteriores:

X= x1+x ;Y=y1+y…………………(φ)
x= X1+X ; y=Y1+Y…………………θ

* SE PRESENTAN 2 CASOS:

CASO I:
y= mx

Donde reemplazando a la ecuación anterior la relación en función de las relaciones molares, tenemos:
Y1+Y= m X1+X

CASO II:
y= α xβ

Donde reemplazando a la ecuación anterior, la relación en función de las relaciones molares, tenemos:
Y1+Y= α X1+Xβ
1. Ahoradespejando en función de una sola variable para ambos casos, tenemos:

CASO I
* Para la ecuación en fracciones molares y=mx reemplazando de acuerdo a las relaciones molares:
Y1+Y=m(X)(1+X)
* Despejando el valor de Y, en función de X
Y1+Y+1-1=m(X)(1+X)

Y1+Y-1+Y1+Y+1=m(X)(1+X)
Y-1-Y1+Y+1=m(X)(1+X)
-11+Y+1=m(X)(1+X)
(1+Y)1-mX1+X=1

Y=11-mX1+X-1…………………….. (a)

* Llevando laecuación (a) a su forma más simple:
Y=mX1+1-mX
* De las ecuaciones en θ, la relación molar Y en función de la fracción molar x:

Y=11-mx-1

* Ahora despejando la relación Molar X en función de la relación molar Y, para este mismo CASO I :

Ym(1+Y)=X1+X-1+1
Ym(1+Y)=X-1-X(1+X)+1
Ym(1+Y)=-1(1+X)+1
1(1+X)=1-Ym(1+Y)
1=(1+X)(1-1mY1+Y)
1+X=11-1mY1+Y

* Por tanto la ecuación de larelación molar X en función de la relación molar Y es :
X=11-1mY1+Y-1
* Llevando a su forma más simple:
X=Ym+m-1Y

* De las ecuaciones en θ, X en función de la fracción molar y:
X=mm-y-1

CASO II
* Para la ecuación en fracciones molares y=∝(x )βreemplazando de acuerdo a las relaciones molares

Y1+Y+1=∝X1+Xβ
Y1+Y+1-1=∝X1+Xβ
Y-1-Y1+Y+1=∝X1+Xβ
11+Y=1-∝X1+Xβ11-∝X1+Xβ=1+Y
Y=11-∝X1+Xβ-1………………..(b)

* En función de fracción molar , x, la ecuación será:
Y=11-∝xβ-1

* Despejando el valor de la relación molar X, de la ecuación inicial, para el caso II :
Y1+Y=∝X1+Xβ
X1+Xβ=1∝(Y1+Y)
X1+X=β1∝(Y1+Y)
X1+X-1+1=β1∝(Y1+Y)
X-1-X1+X+1=β1∝(Y1+Y)
-11+X=β1∝Y1+Y-1
11+X=1-β1∝Y1+Y
1+X=11-β1∝Y1+Y
X=11-β1∝Y1+Y-1= 11-1∝Y1+Y1β-1

* La relación molar X en funciónde la fracción molar, y, será:
X=11-β1∝y-1

2. Ahora presentaremos las ecuaciones para la curva en equilibrio en relaciones molares, cuando es cóncava hacia arriba y cuando es cóncava hacia abajo.

* Según el Teorema:
Suponiendo que la función, f: RR es derivable en un intervalo dado <a,b>.

a) Si, f es una función tal que f´´ x>0 , ∀ x ∈ <a,b>, entonces la gráficade f es cóncava hacia arriba sobre <a,b>.
b) Si, f es una función tal que f´´ x<0 , ∀ x ∈ <a,b>, entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo sobre <a,b>.

* Hallando las primeras derivadas de la primera ecuación y luego las segundas derivadas:

Caso I:
Y=11-mX1+X-1
* Hallando la primera derivada de esta función:
dYdX=∂(11-mX1+X-1)∂XdYdX=(1)'(1-mX1+X-(1)(1-mX1+X)'1-mX1+X2
dYdX=(1)'(1-mX1+X-(1)(1-mX1+X)'1-mX1+X2
Y'=dYdX=m(1+X)21-mX1+X2
* Reduciendo:
Y'=m1+1-mX2

* Hallando la segunda derivada:
dYdXdYdX=d(m1+X-mX2)dX

dYdXdYdX=(m)'1+X-mX2-m(1+X-mX2)'(1+X-mX2)2

dYdXdYdX=-m(21+X-mX1-m)1+X-mX4

dYdXdYdX=-2m1+X-mX1-m1+X-mX4

Y''=dYdXdYdX=-2m1-m1+X-mX3

* Por tanto la segunda derivada es:

Y''=2mm-11+(1-m)X3

Caso II:Y=11-∝X1+Xβ-1
* Hallando la primera derivada de esta función:
dYdX= ∂11-∝X1+Xβ-1∂X
dYdX=11-∝X1+Xβ'- (1)'
dYdX=-1-∝X1+Xβ'1-∝X1+Xβ2
dYdX=αX1+Xβ'1-∝X1+Xβ2
dYdX=αβX1+Xβ-1X1+X'1-∝X1+Xβ2
dYdX=αβX1+Xβ-111+X21-∝X1+Xβ2
Y'=dYdX=αβX1+Xβ1X1+X1-∝X1+Xβ2
* Ahora hallamos la segunda derivada:
dYdXdYdX= dαβX1+Xβ1X1+X1-∝X1+Xβ2dX
dYdXdYdX=αβX1+Xβ1X1+X'1-∝X1+Xβ2-αβX1+Xβ1X1+X1-∝X1+Xβ2'1-∝X1+Xβ4...