transforamiciones lineales

Transformación lineal.
Sean V y W espacios vectoriales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v ε V un único vector Tv ε W y que satisface para cada u y ven V y cada escalar α.

T (u+v) = Tu+Tv
T (αv)= αTv
Notación escribimos T: V……….W para indicar que T transforma en V o W.

Ejemplo Demostrar que la siguientefunción

es una transformación lineal.
Solución: Veamos primero que respeta la suma.
Sean cualesquiera en
T((x;y)+(x';y')) = T((x+x';y+y'))
=(2(x+x')+3(y+y');(x+x')-3(y+y'))
= (2x+2x'+3y+3y';x+x'-3y-3y')
= (2x+3y;x-3y')+(2x'+3y';x'-3y')
= T((x;y))+T((x';y'))Ahora la multiplicación por escalar.
Sea cualesquiera en y en
T(a(x;y)) = T((ax;ay))
= (2ax+3ay;ax-3ay)
= (a(2x+3y);a(x-3y))
= a(2x+3y;x-3y)
= aT((x;y))
Ejemplo Demostrarque la siguiente función

es una transformación lineal.

Solución: Veamos primero que respeta la suma.
1Sean cualesquiera en

T((x;y)+(x';y')) = T((x+x';y+y'))
=(y+y';x+x')
= (y;x)+(y';x')
= T((x;y))+T((x';y'))

Ahora la multiplicación por escalar.
Sea cualesquiera en y en

T(a(x;y)) = T((ax;ay))= (ay;ax)
= a(y;x)
= aT((x;y))

Ejemplo Demostrar que la siguiente función

es una transformación lineal.
Solución: Veamos primero querespeta la suma.
Sean cualesquiera en

T((ax2+bx+c)+(a'x2+b'x+c')) = T((a+a')x2+(b+b')x+(c+c'))
= ((a+a')-(b+b');2(c+c')+(b+b'))= (a-b+a'-b';2c+b+2c'+b')
= (a-b;2c+b)+(a'-b';2c'+b')
=...