TRANSFORMACIÓN LINEAL

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
ESCUELA 42 “INGENIERIA CIVIL”
SECCIÓN “L”

















































INTRODUCCIÓN


La Programación Lineal es una técnica matemática utilizada para dar solución a problemas que se plantean muy comúnmente en diversasdisciplinas como Economía, Ingeniería, Sociología, Biología, etc.

En esencia trata de maximizar y/o minimizar una función lineal de dos o más variables teniendo en cuenta que las mismas deben cumplir determinadas exigencias derivadas de la escasez de recursos disponibles en la realidad.

El problema de asignar convenientemente recursos escasos es un problema conocido desde la antigüedad,especialmente en el mundo de la economía, aunque una solución matemática al mismo es relativamente reciente.

Fue en la década de los años 40 del siglo XX que a través del trabajo de equipos formados por matemáticos, economistas y físicos, entre los cuales merece especial destaque George B. Dantzing, se sentaron las bases para la resolución de problemas de Programación Lineal y No Lineal.Entendemos que nada mejor para comprender la esencia del tema que plantearte un ejercicio, que iremos desarrollando para que recuerdes los conocimientos matemáticos necesarios para su resolución y puedas entonces dedicarte a los ejercicios que te proponemos en esta publicación.








DEFINICIÓN Y EJEMPLO DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
Así como cuando se estudian las funciones reales interesanespecialmente las funciones continuas, cuando se estudian funciones de un espacio vectorial en otro interesan aquellas que poseen ciertas propiedades especiales, por ejemplo las que conservan operaciones. Es decir, que la función sea tal que "conserve" las dos operaciones fundamentales que definen la estructura de espacio vectorial. 

En síntesis, podemos dar la siguiente definición:
Unafunción T: V W (de un espacio vectorial V en un espacio vectorial W) 
se dice una transformación lineal si, para todo a, b Î V, 
k Î  K (K es el cuerpo de escalares) se tiene:

T (a + b) = T (a) + T (b)

T (k a) = k T (a)
que se puede resumir en T ( a + b) = T (a) +  T (b),
llamada propiedad de linealidad.
Si T: V  W es una transformación lineal, el espacio V se llama dominio de T y el espacioW se llama co-dominio de T.

Ejemplos:
Ejemplo 1. A partir de la definición, analicemos si es lineal la siguiente transformación:
T: R2 R3 /  x Î  R2: T ((x1, x2)) = (x1 + x2, x1 - x2, x2)
Se deben verificar las dos condiciones de la definición:
a) ¿ x, y Î  R2: T (x + y) = T (x) + T (y)?
x = (x1, x2)
y = (y1, y2) 
x + y = (x1 + y1, x2 + y2) 

T (x + y) = T (x1 + y1, x2 + y2) = (x1 +y1 + x2 + y2, x1 + y1 - x2 - y2, x2 + y2) =
= (x1 + x2, x1 - x2, x2) + (y1 + y2, y1 - y2, y2) = T (x) + T (y)


b) ¿ x Î  R2,  k Î  R: T (k x) = k T (x)?
T (k x) = T (k (x1, x2)) = T (k x1, k x2) = (k x1 + k x2, k x1 - k x2, k x2) = 
= k (x1 + x2, x1 - x2, x2) =
= k T (x)
Se verifican las doscondiciones de la definición, entonces la transformación es lineal. 
Ejemplo 2. Analicemos ahora si T es lineal, siendo
T: R2  R2 /  x Î  R2: T ((x1, x2)) =(x2, x1 + 2)
Se deben verificar las dos condiciones de la definición:
a) ¿ x, y Î  R2: T (x + y) = T (x) + T (y)?
x = (x1, x2)
y = (y1, y2) 
x + y = (x1 + y1, x2 + y2) 

T (x) + T (y)  = (x2, x1 + 2) + (y2, y1 + 2) = (x2 + y2, x1 +y1 + 4)
T (x + y) = T (x1 + y1, x2 + y2) = (x2 + y2, x1 + y1 + 2) T (x) + T (y) 

No se verifica esta condición, entonces la transformación no es lineal.
Ejemplo 3. Analicemos ahora si T es lineal, siendo T:
Mn x n  R /  v Î Mn x n: T (v) = det(v)
Sabemos que det(A + B) det(A) + det(B), y det(kA) = kn det(A) k det(A), entonces esta transformación no es lineal.

PROPIEDADES DE LAS...