Transformacion conforme






APLICACIONES DE LA

TRANSFORMACIÓN

CONFORME









CARLA MARÍA CANO DUEÑAS 04055
ALBA OLÍAS LÓPEZ 04282

ÍNDICE

1. INTRODUCCIÓN PÁGINA 3

2. TRANSFORMACIONES CONFORMES PÁGINA 3

3. APLICACIONES DE LAS TRANSFORMACIONES CONFORMES PÁGINA 5

4. TEMPERATURAS ESTACIONARIAS PÁGINA 5

5. TEMPERATURAS ESTACIONARIAS EN UN
SEMIPLANO PÁGINA7

6. TEMPERATURAS EN UN CUADRANTE PÁGINA 9

7. POTENCIAL ELECTROSTÁTICO PÁGINA 11

8. POTENCIAL EN UN ESPACIO CILÍNDRICO PÁGINA 12

9. FLUJO EN UN FLUIDO BIDIMENSIONAL PÁGINA 14

10. LA FUNCIÓN DE CORRIENTE PÁGINA 17

11. FLUJOS EN TORNO A UNA ESQUINA Y
A UN CILINDRO PÁGINA 19

12. BIBLIOGRAFÍA PÁGINA 19










APLICACIONES DE LA TRANSFORMACIÓNCONFORME


1. INTRODUCCIÓN

El método de la transformación conforme ha sido y es utilizado en la solución de problemas de la física matemática gobernados por la ecuación de Laplace, ya que ésta es invariante cuando se aplica la transformación. Dichas aplicaciones pueden ser definidas con “usos tradicionales” del método de transformación conforme.

Por otra parte, la metodología ha sido utilizadacon éxito y por cerca de medio siglo en la solución de ciertos problemas planos de la teoría matemática de la elasticidad. Pero en las dos últimas décadas el método de transformación conforme, usado por primera vez por Ptolomeo hace 1800 años, ha sido empleado en problemas diversos de la ciencia y la tecnología: acústica, vibraciones de medios continuos, problemas no estacionarios de la teoría dela difusión, etc.
Las propiedades de una función real de una variable real se reflejan en su gráfica. Pero para w = f(z), con z y w complejos, no es posible hacer una gráfica análoga, porque cada uno de esos números complejos está en un plano, no en una recta. No obstante, se puede representar cierta información parcial de la función indicando pares de puntos correspondientes z = (x, y) y w = (u,v). A tal fin, se dibujan por separado los planos de z y w. Cuando se piensa de ese modo en una función, se habla de transformación.
2. TRANSFORMACIONES CONFORMES
Sea C un arco suave dado por z = z(t) (a ≤ t ≤ b) y sea f(z) una función definida en todos los puntos z de C. La ecuación w = f[z(t)] (a ≤ t ≤ b) es una parametrización de la imagen Γ de C bajo la transformación w = f(z).Supongamos que C pasa por un punto z0 = z(t0) (a ≤ t0 ≤ b) en el que f es analítica1 y f’(z0) ≠ 0. Por la regla de la cadena, si w = f[z(t)] entonces w’(t0) = f’[z(t0)]z’(t0) y esto significa que
arg w’(t0) = arg f’[z(t0)] + argz’(t0) (1)
Denotemos por Ψ0 un valor de argf’(z0) y por θ0 el ángulo de inclinación de una recta tangente a C en z0 dirigida. θ0 es un valor de argz’(t0) y de (1) se sigueque 0 = Ψ0 + θ0 es un valor de arg w’(t0) y es, por tanto, el ángulo de inclinación de una recta tangente a Γ en el punto w0 = f(z0) dirigida. Así pues, la diferencia entre el ángulo de inclinación de la recta dirigida en w0 y el ángulo de inclinación de la recta dirigida en z0 viene dada por el ángulo de rotación Ψ0 = argf’(z0).

Sean ahora C1, C2 dos arcos suaves que pasanpor z0, y sean θ1, θ2 los ángulos de inclinación de sus respectivas rectas tangentes dirigidas en z0. Por lo que acabamos de ver 1 = Ψ0 + θ1 y 2 = Ψ0 + θ2 son los ángulos de inclinación de las rectas tangentes dirigidas de las curvas imagen Γ1 y Γ2 en el punto w0 = f(z0).
Así pues, 2 –1 = θ2 – θ1. En otras palabras, el ángulo de 2 –1 de Γ1 a Γ2 es igual, en magnitud y sentido, el ángulo θ2 – θ1de C1 a C2. Ese valor se denota por α en la figura siguiente:

Debido a esta propiedad de conservación de ángulos, una transformación w = f(z) es conforme en un punto z0 si f es analítica en z0 y f’(z0) ≠ 0. Una tal transformación es conforme, en realidad, en todo punto de un entorno de z0. En efecto, f debe ser analítica en un entorno de z0 y, como f’ es continua en z0 implica que hay un...