transformacion de coordenadas de un sitema a otro

TEMA 1.2. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS DE UN SISTEMA A OTRO.
SUBTEMA 1.2.1. DADO UN PUNTO O CAMPO ESCALAR EN CUALQUIER SISTEMA COORDENADO, TRANSFORMARLO A LOS OTROS DOS SISTEMAS COORDENADOS.COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS.

Coordenadas cilíndricas.

Ya hemos tenido ocasión de comprobar que ciertas graficas bidimensionales son mas fáciles de representar en coordenadas polares queen coordenadas rectangulares. Lo mismo ocurre con las superficies. En esta sección introducimos dos sistemas alternativos de coordenadas para el espacio. El primero, el sistema de coordenadascilíndricas, es una generalización de las coordenadas polares en el espacio.

EL SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS.

En un sistema de coordenadas cilíndricas, un punto p del espacio se representa porun trío ordenado (r, ө, z).

1.- (r, ө) son las coordenadas polares de la proyección de p sobre el plano x y.
2.- z es la distancia dirigida de p a (r, ө).


Para pasar de rectangulares acilíndricas, o viceversa, hay que usar las siguientes formulas de conversión.

Cilíndricas a rectangulares.

X = r cos ө, y = r sen ө, z = z

Rectangulares a cilindricas:

R2 =x2 +y2, tg ө =y/x, z = z.

El punto (0, 0,0) se llama el polo. Además, como la representación de un punto en polares no es única, tampoco lo es en cilíndricas.

Ejemplo 1:

Expresaren coordenadas rectangulares el punto (r, ө, z) = (4,5π/6,3).

Solución:
Con las formulas de conversión de cilíndricas a rectangulares obtenemos.

X = 4 cos 5 π / 6 = 4 (-√3 / 2) = -2(√3).

Y = 4 sen 5 π/ 6 = 4 (1/2) = 2

Z = 3

Así pues, en coordenadas rectangulares ese punto es (x, y, z) = (-2)( √ 3, 2, 2).
Ejemplo 2:

Hallar ecuaciones en coordenadascilíndricas para las superficies cuyas ecuaciones rectangulares se especifican a continuación:

a) x2 + y2 =4z2
b) y2 = x

Solución a)
Por la sección procedente sabemos que la grafica de x2...