transformacion de esfuerzos

Tema 6: Transformación de esfuerzos y deformaciones unitarias
6.1.

Estado de esfuerzo en coordenadas cartesianas

Considere un cuerpo tridimensional, cuyo comportamiento del material es elástico lineal con
deformaciones pequeñas, con un dominio Ω ∈ R3 , puntos materiales x y frontera Γ con vector
normal n (Fig. 6.1), el cual se somete a las acciones del vector de fuerzas de cuerpo b en elinterior del continuo, a las tracciones prescritas t∗ en Γ y los desplazamientos prescritos u∗ en
Γ . La frontera Γ del continuo está constituida por dos superficies Γ y Γ ; Γ corresponde a la
región con desplazamientos prescritos (conocidos) y Γ corresponde al resto de la frontera que
incluye aquellas porciones donde se aplican las cargas prescritas, de tal forma que Γ ∪ Γ = Γ
y Γ∩ Γ = ∅.

Figura 6.1: Continuo Ω con acciones en el dominio y condiciones de frontera sobre Γ.
De acuerdo con el principio de acción=reacción de Newton, la fuerza de reacción de la fuerza
resultante ∆ , se encuentra en el mismo plano la parte opuesta del sólido, como una fuerza con
la misma magnitud pero con dirección opuesta. Si se asume que la relación ∆∆, en el límite
∆ → 0, tiendea un valor finito, a este valor límite se le llama vector de esfuerzos.
∆

=
∆→0 ∆


t = l´
ım

(6.1)

En esta definición se asume que sólo se transmiten fuerzas y no momentos en cualquier punto
del corte.
El vector de esfuerzos t tiene una proyección en la parte perpendicular al plano de corte, llamado
esfuerzo normal , y otras dos tangenciales al plano, llamadas esfuerzoscortantes  , ver Fig. 6.2.
Se considera como que los esfuerzos son positivos si su dirección coincide con las normales exteriores del plano de corte, Fig.6.3.
Los vectores de esfuerzo en los planos positivos de un elemento en coordenadas cartesianas, Fig.
6.4, son:

9

Figura 6.2: Proyección del vector de esfuerzos.

Figura 6.3: Convención de signos de esfuerzos.
⎡



⎤

⎡



⎤

⎡

 

⎤

⎥
⎥
⎥
⎢
⎢
⎢
t = ⎢   ⎥  t = ⎢   ⎥  t = ⎢   ⎥
⎦
⎦
⎦
⎣
⎣
⎣
 
 


(6.2)

Figura 6.4: Representación gráfica del tensor de esfuerzos.
En este contexto, los esfuerzos normales se escriben como   y los esfuerzos cortantes como   ,
donde los valores de   =   .
Los vectores de esfuerzo se pueden ensamblar en notaciónmatricial como el llamo tensor de
esfuerzo, en coordenada cartesianas se tiene:

10

⎡



⎢
σ = [ t | t | t | ] = ⎢  
⎣
 

   

 

el superíndice  indica transpuesta de la matriz.

6.1.1.

⎤

⎥
  ⎥
⎦


Transformación de esfuerzos sobre un plano

El estado de esfuerzos en el plano x y y mostrado en la fig. 6.5a puede rotarse a un plano x’ y
y’fig. 6.5a un ángulo .

Figura 6.5: Estado de esfuerzo en el plano: a) ejes coordenados x y y y b)rotación a los ejes x’ y
y’.
Considere un plano con normal unitaria n que forma un ángulo  con el eje  , se define un
vector unitario m en la dirección tangencial al plano y en el sentido indicado en la Fig. 6.6.

Figura 6.6: Estado de esfuerzo sobre un plano.
Los vectores n y m están dados por:n=

"

cos 
sin 

#

ym=

"

sin 
− cos 

#

Sea σ el tensor de esfuerzos en el punto con componentes en la base cartesiana:

11

σ=

"



 

 



#

(6.3)

Utilizando la ec. (??), el vector de tracción en el punto sobre el plano considerado es:
t=σ·n=

"



 

 



#"

cos 
sin 

#

=

"

 cos  +  sin 
  cos  +   sin 

#

(6.4)

Se definen el esfuerzo normal σ y el esfuerzo tangencial τ  , sobre el plano inclinado  (Fig. 6.6)
como:

σ  = t · n = [  cos  +   sin ;   cos  +   sin ]

"

cos 
sin 

#

(6.5)

σ  =   cos2  + 2  sin  cos  +   sin2 

τ  = t · m = [  cos  +   sin ;   cos  +   sin ]

"

sin 
− cos...