Transformacion de laplaces
Páginas: 6 (1368 palabras)
Publicado: 3 de junio de 2013
Definición de transformación de Laplace
Sea una función definida para . Entonces la integral $$\mathfrak{L}\left\{{f(t)}\right\} = \int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt$$ se llama Transformada de Laplace de $f$, siempre y cuando la integral converja. Cuando la integral definitoria converge, el resultado es una función de $s$. Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útilen el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver. Otra aplicación importante en los sistemas lineales es el cálculo de la señal de salida. Ésta se puede calcular mediantela convolución de la respuesta impulsiva del sistema con la señal de entrada. La realización de este cálculo en el espacio de Laplace convierte la convolución en una multiplicación, habitualmente más sencilla. La transformada de Laplace toma su nombre en honor de Pierre-Simon Laplace. La transformada de Laplace es al tiempo continuo lo que la transformada de $\mathcal{Z}$ es al discreto Cuando sehabla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue: La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).
Aplicaciones de Laplace
Funciones de impulso
Estas“funciones” se utilizan para modelizar fenómenos en los que la transferencia del momento es tan rápida que sólo pueden observarse los instantes anterior y posterior. Por ejemplo cuando excitamos instantáneamente un determinado sistema.
Este tipo de fenómenos se modelizan con la llamada delta de Dirac. Si a > 0, definimos la “función” delta de Dirac por
Esta “función” puede obtenerse a partir del límitefuncional obtenido a partir de la sucesión
Nótese que
Por lo que se conviene formalmente que
Además, si f ∈ E es una función continua en a, se tiene que
Cuya justificación formal puede hacerse a partir del Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral. De (2.6) obtenemos que para todo z ∈ C se verifica
y en particular si denotamos δ0 por δ, entonces
La “función” delta tiene suaplicación en el contexto de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Consideremos por ejemplo el problema formal de condiciones iniciales
Aplicando formalmente la Transformada de Laplace obtenemos que
de donde la solución
recibe el nombre de respuesta al impulso δ. Nótese que yδ no satisface las condiciones iniciales del problema. Sin embargo esta solución es útil yaque si f ∈ E, la solución de
es de la forma
Por ejemplo, si f(t) = cost la solución del problema sería
que como vemos si satisface las condiciones iniciales.
Métodos Aproximados
Existen diversos métodos numéricos que nos permiten hallar una solución aproximada. En esta sección solo veremos los métodos de Euler que, por su sencillez, parecen los más indicados para iniciarnos en estastécnicas. Supongamos que deseamos resolver de forma aproximada el problema de
Cauchy siguiente
Lo primero que haremos, mediante el Teorema de existencia y unicidad, será comprobar que posee solución única. En todo lo que sigue, damos por supuesto que estamos en condiciones de aplicar dicho Teorema. Una forma de obtener una aproximación de la solución exacta de nuestro problema puede consistiren el cálculo de una iterante de Picard, yn(x), para un valor adecuado de n. Sin embargo, la convergencia de la sucesion formada por las iterantes de Picard es lenta y, además, los cálculos necesarios son, en general, complejos. Por ello, en las aplicaciones se usan otros métodos más favorables. Buscaremos valores aproximados de la solución exacta, y(x), para valores igualmente espaciados de...
Sea una función definida para . Entonces la integral $$\mathfrak{L}\left\{{f(t)}\right\} = \int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt$$ se llama Transformada de Laplace de $f$, siempre y cuando la integral converja. Cuando la integral definitoria converge, el resultado es una función de $s$. Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útilen el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver. Otra aplicación importante en los sistemas lineales es el cálculo de la señal de salida. Ésta se puede calcular mediantela convolución de la respuesta impulsiva del sistema con la señal de entrada. La realización de este cálculo en el espacio de Laplace convierte la convolución en una multiplicación, habitualmente más sencilla. La transformada de Laplace toma su nombre en honor de Pierre-Simon Laplace. La transformada de Laplace es al tiempo continuo lo que la transformada de $\mathcal{Z}$ es al discreto Cuando sehabla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue: La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).
Aplicaciones de Laplace
Funciones de impulso
Estas“funciones” se utilizan para modelizar fenómenos en los que la transferencia del momento es tan rápida que sólo pueden observarse los instantes anterior y posterior. Por ejemplo cuando excitamos instantáneamente un determinado sistema.
Este tipo de fenómenos se modelizan con la llamada delta de Dirac. Si a > 0, definimos la “función” delta de Dirac por
Esta “función” puede obtenerse a partir del límitefuncional obtenido a partir de la sucesión
Nótese que
Por lo que se conviene formalmente que
Además, si f ∈ E es una función continua en a, se tiene que
Cuya justificación formal puede hacerse a partir del Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral. De (2.6) obtenemos que para todo z ∈ C se verifica
y en particular si denotamos δ0 por δ, entonces
La “función” delta tiene suaplicación en el contexto de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Consideremos por ejemplo el problema formal de condiciones iniciales
Aplicando formalmente la Transformada de Laplace obtenemos que
de donde la solución
recibe el nombre de respuesta al impulso δ. Nótese que yδ no satisface las condiciones iniciales del problema. Sin embargo esta solución es útil yaque si f ∈ E, la solución de
es de la forma
Por ejemplo, si f(t) = cost la solución del problema sería
que como vemos si satisface las condiciones iniciales.
Métodos Aproximados
Existen diversos métodos numéricos que nos permiten hallar una solución aproximada. En esta sección solo veremos los métodos de Euler que, por su sencillez, parecen los más indicados para iniciarnos en estastécnicas. Supongamos que deseamos resolver de forma aproximada el problema de
Cauchy siguiente
Lo primero que haremos, mediante el Teorema de existencia y unicidad, será comprobar que posee solución única. En todo lo que sigue, damos por supuesto que estamos en condiciones de aplicar dicho Teorema. Una forma de obtener una aproximación de la solución exacta de nuestro problema puede consistiren el cálculo de una iterante de Picard, yn(x), para un valor adecuado de n. Sin embargo, la convergencia de la sucesion formada por las iterantes de Picard es lenta y, además, los cálculos necesarios son, en general, complejos. Por ello, en las aplicaciones se usan otros métodos más favorables. Buscaremos valores aproximados de la solución exacta, y(x), para valores igualmente espaciados de...
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