Transformacion lineal

TRANSFORMACIÒN LINEAL

Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para todo par de vectores u y vpertenecientes a V y para todo escalar k perteneciente a K, se satisface que:
1. T (u+v) = T(u)+T(v).
2. T(ku)= kT(u) donde k es un escalar.

PROPIEDADES
1. T : V ----- W/T (0V)=0W2. VX V, T: V----W/T (-X)= -T(X)
3. VX,Y V,T: V----W/T (X-Y)= T(X) – T(Y)
4. Va,b IR; VX V, VY T: V----W/T(ax+by)=a T(X)+ bY(X)

IMAGEN Y NÙCLEO
SI T:V ----W eslineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:
ker (T)= x V :T (X)= 0w
El núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio quetienen por imagen al vector nulo del codominio.
El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:
1. 0v ker (T) dado que T (0v)= 0w
2. dados u,v ker (T): T (u+v)=T(u)+T(v)=0w+0w=0w u+v ker (T)
3. dados u ker (T) k R: T(ku)= kT (u) T(ku)= k0w=0w ku
ker (T)
La imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto detodos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.
• La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
• El rango de unatransformación lineal es la dimensión de la imagen.

Teorema fundamental de las transformaciones lineales

Sea B = V1, V2, V3,… Vn base de V y C = W1, W2, W3,…Wn un conjunto de n vectores de W nonecesariamente distintos, entonces existe una única transformación lineal.
T : V ---- W/T (Vi)= Wi, 1

MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACION LINEAL CON RESPECTO A UNA BASE
Una matriz asociada es lamatriz formada por las coordenadas de los elementos de una base.
Dada T: V → W, con B= V1, V2, V3,….Vn y C= W1, W2, W3,…Wp bases de V y W respectivamente, llamamos coordenadas de V1 en base C, al...