Transformacion lineal

REPRESENTACION MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
Si A es una matriz de m x n y T: Rn → Rm está definida por Tx= Ax.
Ahora se verá que para toda transformación lineal de Rn en Rm existe unamatriz A de m x n tal que Tx= Ax para todo x € Rn. este hecho es sumamente útil. Si Tx=Ax, entonces un T= NA e imagen T=RA. Más aún, v (T) = dim un T =v(A) y ρ (T) = dim imagen T= ρ(A). Así se puededeterminar núcleo, imagen, Rm determinando el espacionulidad y rango de una transformación lineal de Rn nulo y la imagen de la matriz correspondiente. Todavía mas, una vez que se sabe que Tx= Ax, sepuede evaluar Tx para cualquier x en Rn mediante una simple multiplicación de matrices.
Como se verá, cualquier transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita se puederepresentar por una matriz.
TEOREMA 1:
Sea T: Rn → Rm una transformación lineal. Entonces existe una matriz única de m x n, AT tal que.
Tx = AT x para toda x € Rn.
DEMOSTRACIÓN
Sea W1 = Te1, W2=Te2,…Wn = Ten. sea AT la matriz cuyas columnas son W1, W2,…, Wn y hagamos que AT denote también a la transformación de Rn → Rm, que premultiplica un vector en Rn por AT .
Así AT ei= Wi para i=1,2,…,n.Ahora se puede demostrar que AT es única. Suponga que Tx= AT x y que Tx= BT x para todo x € Rn. Entonces, AT x = BT x o estableciendo CT = AT - BT, se tiene que CT x =0 para todo x € Rn. Enparticular, CT ei es la columna i de CT. Así, cada una de las n columnas de CT es el m- vector cero y CT=0, la matriz cero de m x n. Esto muestra que AT = BT y el teorema queda demostrado.
OBSERVACIÓN 1: Eneste teorema se supone que todo vector en Rn y Rm está expresado en términos de los vectores de la base estándar en esos espacios. Si se eligen otras bases para Rn y Rm, por supuesto, se obtendrá unamatriz AT diferente.
OBSERVACIÓN 2: La demostración del teorema muestra que es sencillo obtener AT como la matriz cuyas columnas son vectores Tei.
DEFINICIÓN1: Matriz de transformación. La...