transformacion lineal

TRANSFORMACIONES LINEALES

Definición: Una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales, es decir, el objetivo es transformar un espacio vectorial en otro.
Notación: paraseñalar una transformación lineal usaremos f (v)=W, donde V y W son los espacios vectoriales que actúan sobre un mismo campo.
Gráfico: Dado un espacio vectorial V, cuyos elementos son: v1, v2…, y dado unespacio vectorial W, sus elementos son función de los elementos de V







Siendo V y W espacios vectoriales, y v1, v2, v3, w1, w2, w3 vectores.
Una función f de V en W que asigna a cadavector v , un vector f(v) Є W es una transformación lineal, si y sólo si, α Є K, vi, vj Є V, satisface los siguientes axiomas:
1. f (vi + vj) = f (vi) + f (vj)
2. f (vi) = α.f (vi)Teorema:
Sea f: V  W Una transformación lineal, entonces se cumple que:
1. f (0v) = 0w
2. f (vi - vj) = f (vi) - f (vj)
Teorema:
Sea f : V  W Una transformación lineal, dimV=n
dimV = dimN (f) +dimIm (f)




Ejemplo:
1. Dada la siguiente aplicación lineal, obtener la imagen de tres vectores y realizar un diagrama.
f : P(2)  R2
(a+bx+cx2)  f (a+bx+cx2) = (a-b, 2c+a)Solución:
Los vectores a considerar son: por lo tanto, al reemplazar los valores de los vectores, en la aplicación lineal, obtenemos los diagramas correspondientes a cada vector.
V1 (1-x)  f (1-x) =(2,1)
V2 (3+x-2x2)  f (3+x-2x2) = (2,-1)
V3 (0+0x+0x2 )  f (0+0x+0x2) = (0,0)
DIAGRAMAS








Propiedades de las transformaciones lineales
Teorema 1. Sea T: V → W una transformaciónlineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1, v2, ..., vn en V y todos los escalares α1, α2, ..., αn:
i. T(0) = 0
ii. T(u - v) = Tu - Tv
iii. T(α1v1, α2v2, ..., αnvn) = α1Tv1+ α2Tv2+ ... +αnTvn
Nota. En la parte (i) el 0 de la izquierda, es el vector cero en V mientras que el 0 del lado derecho, es el vector cero en W.
Teorema 2. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base...