transformacion lineal

Trabajo Teórico-Práctico Nº6 (2ºparte)
Transformaciones lineales
6)Determinar una transformación lineal que satisfaga las condiciones siguientes:
a) F:R2 R2 tal quef(1,0)=(2,-1) f(0,1)=(2,3)
b) F:R2 R2 tal que f(1,0)= (-1,1) f(0,-1)= (0,1)
c) F:R2 R3 tal que f(1,0)= (1,-1,1) f(0,2)= (1,0,1)
d) F:R2 R2 tal que f(1,-1)=(2,1)

7) Demostrar la siguiente propiedad de una tranformación lineal f:V W
“f es monomorfismo sii N(f) = {0} “

8) Indicar si las t.l. son monomorfismos, epimorfismos ,eisomorfismos:
a) F:R2 R2 f(x1,x2)= (x1+x2,x1-x2)
b) F:R3 R2 f(x1,x2,x3)=(2x1-x2+x3,-x2+x3)
c) F:R R2 f(x)=(x,2x)

9)El Teorema de la dimensión estableceque: si f: V W es una transformación lineal,entonces:
Dim N(f) + Dim Im(f)= dim V

Determinar si es posible definir una t.l. con las condiciones siguientes.Justificar.Pista: usar el teorema de la dimensión.
a) F:R2 R3 tal que Im(f)= R3
b) F:R4 R3 tal que sea monomorfismo.
c)F:R2 R2 tal que Im(f)= R





10) Definirde ser posible una t.l. tal que:
a) f:R2 R3 con N(f)={(x1,x2)/ x1=x2}
Pista: buscar una base del núcleo y “completarla” para obtener una base de R2. Luego
Usar teoremafundamental.
b)f: R2 R3 tal que la Im f={(x1,x2,x3)/ x1=x2=x3}
Pista: usar teorema fundamental.
Respuestas:
6) a)f(x1,x2)=(2x1+2x2, -x1+3x2) b) f(x1,x2)=(-x1, x1-x2)c) f(x1,x2)=(x1+ x2 /2 , -x1 , x1+ x2/2)
d) f(x1,x2)=(2x1, 2x1+x2) (no es única)
8)a)es isomorfismo. b)es epimorfismo. c) es monomorfismo.
9)a) no esposible, pues dim N(f)= 0
b) no es posible.
c) Sí es posible.
10)a)Una posible es: f(x1,x2)= (0,2x2-2x1,3x2-3x1)
b) Una posible es: f(x1,x2)=(x1+x2,x1+x2, x1+x2)