Transformacion Lineal

INTRODUCCIÓN.
En el siguiente trabajo presentado a continuación se dan a conocer lo que son las transformaciones lineales, núcleo e imagen de una transformación lineal, aplicación lineal, matrices de la transformación lineal. Esto con el fin de abordar los temas de la unidad 5 del curso de algebra lineal.

DESARROLLO.

TRANSFORMACIÓN LINEAL

Una transformación lineal es unafunción entre espacios vectoriales, es decir, el objetivo es transformar un espacio vectorial en otro. Para señalar una transformación lineal se usa f (v)=W, donde V y W son los espacios vectoriales que actúan sobre un mismo campo. Dado un espacio vectorial V, cuyos elementos son: v1, v2…, y dado un espacio vectorial W, sus elementos son función de los elementos de V V W Sean: VW: Espacios Vectorialesf v1 w1 v1, v2, v3 Vectores v2 w2 w1, w2, w3 v3 w3
Una función f de V en W que asigna a cada vector v, un vector f (v) Є W es una transformación lineal, si y sólo si, α Є K, vi, vj Є V, satisface los A A siguientes axiomas: 1. f (vi + vj) = f (vi) + f (vj) 2. f (vi) = α.f (vi) Teorema: Sea f : V W Una transformación lineal, entonces se cumple que: 1. f (0v) = 0w 2. f (vi - vj) = f (vi) - f (vj)Propiedades de las transformaciones lineales

Sean y espacios vectoriales sobre (donde representa el cuerpo) se satisface que:
Si es lineal, se define el núcleo (ker) y la imagen (Im) de de la siguiente manera

Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.
El núcleo detoda transformación lineal es un subespacio vectorial del dominio:
1.- dodo que
2.-dados
3.- dados
Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo.
La imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.
La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
El rangode una transformación lineal es la dimensión de la imagen.

Clasificación de las transformaciones lineales
Monomorfismo: Si es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo.
Epimorfismo: Si es sobreyectiva (suryectiva).
Isomorfismo: Si es biyectiva (inyectiva y suryectiva)

NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEL

En forma matemática el Núcleo es igual a: Nf= {uЄ e.vV de salida / f (u) = 0w), Donde 0w es el vector nulo del e.v. de llegada W. El Núcleo puede tener varios vectores de V, incluido el vector nulo 0v, o sólo el vector nulo.
IMAGEN O RECORRIDO DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
Sea f: V -> W es una T.L de un e.vV en un e.v W, entonces el recorrido de f o imagen de V bajo f, denotada por Img f, consta de todos aquellos vectores en W (e.v dellegada) que son imágenes bajo f de vectores en V. Es decir, v está en Img f si podemos hallar algún vector u en V tal que f (u)= w.

En forma matemática la Img f podemos escribirla de la siguiente manera: Imgf = { w Є e.v de llegada / f (u) = w}, donde u es elemento del e.v de salida. La imagen de una T.L puede ser una parte del conjunto de llegada o todo el conjunto de llegada.

Sea f: E → F unatransformación lineal.  
El conjunto   {y ∈ F | ∃ x ∈ E f (x) = y}   se le llama imagen de la transformación lineal. La imagen de f se denotara por   I m f. 
Al conjunto {x ∈ E | f (x) = 0} se le llama núcleo de la transformación lineal. El núcleo de f se denotara por   ker f. Esta notación es debido a que en ingles núcleo es “kernel”. Descriptivamente la imagen es el conjunto de los vectoresen el condominio que tienen pre imagen y el núcleo es el conjunto de los vectores en el dominio cuya imagen es el vector 0.

‘‘LA IMAGEN Y EL NUCLEO DE UNA TRANFORMACION LINEAL SON SUBESPACIOS’’
Sean x, y vectores en Imagen f y λ ∈ K. Por definicion existen   a ,b tales que:
f (a) = x, f (b) = y.
Como f es lineal tenemos f (a + b) = f (a) + f (b) = x + y,   y además f (λ a) = λ f (a) = λ...