Transformacion lineal

TRANSFORMACION LINEAL

En matemática una aplicación lineal (también llamada función lineal, transformación lineal u operador lineal) es una aplicación entre dos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar. El término función lineal se usa también en análisis matemático y en geometría para designar una recta, un plano, o en general unavariedad lineal.
Definición
Se denomina aplicación lineal, función lineal o transformación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:
Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para todo par de vectores u y v pertenecientes a V y para todoescalar k perteneciente a K, se satisface que:
1. [pic]
2. [pic]donde k es un escalar.
Ejemplos
Transformación lineal identidad
[pic][pic]
Homotecias
[pic]con [pic]
Si k > 1 se denominan dilataciones
Si k < 1 se denominan contracciones

Homotecias: Una homotecia es una trasformación geométrica que, a partir de un punto fijo, multiplica todas lasdistancias por un mismo factor. Es una amplificación. Su definición rigurosa es vectorial
Propiedades
Sean [pic]y [pic]espacios vectoriales sobre [pic](donde [pic]representa el cuerpo) se satisface que:
Si [pic]es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:
[pic]
Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos losvectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.
El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:
1. [pic]dado que [pic]
2. Dados [pic]
3. Dados [pic]
Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. [pic]
O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menosalgún vector del dominio.
• La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
• El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.
[pic]
una función lineal es la correspondencia
Teorema fundamental
Sea B = {v1,v2,v3,...vn} base de V y C = {w1, w2, w3,...wn} un conjunto de n vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe unaúnica transformación lineal. [pic]
Clasificación
Monomorfismo: Si [pic]es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo. [pic]
1. Epimorfismo: Si [pic]es sobreyectiva (exhaustiva).
2. Isomorfismo: Si [pic]es biyectiva (inyectiva y exhaustiva).L
Matriz asociada a una transformación lineal
Una matriz asociada es la matriz formada por las coordenadas de los elementos deuna base.
Dada T: V → W, con B = {v1, v2, v3, ..., vn} y C = {w1, w2, w3, ..., wp} bases de V y W respectivamente, llamamos coordenadas de v1 en base C, al vector formado por los coeficientes de los elementos de C que usamos para llegar al transformado de v1.
T(v1) = a1.w1 + a2.w2 + ... + ap.wp
Entonces:
Coord. (v1) = (a1, a2,..., ap)
Y la matriz asociada a T, en las bases B y C, es la matrizres/sub> (v2),..., coord. (vn))

Teorema.- Sea A (m,n) la matriz de transformación correspondiente a T:(V,F)((W,G) con respecto a las bases B1={v1,...,vn} y B2={w1,...,wm} respectivamente.
Suponga que hay otras bases B1’={v1’,...,vn’} y B2’={w1’,...,wm’} de los espacios respectivos.
Entonces la matriz A’ correspondiente a la misma transformación T con respecto a las bases B1’ y B2’ está dadapor:
A’=P-1AQ
P es la matriz de transición (de paso) de la base B2’ en B2
Q es la matriz de transición (de paso) de la base B1’ en B1
Sabemos que [T(x)]B2=AxB1
Ahora,
xB1=QxB1’ y [T(x)]B2=P[T(x)]B2’
Por tanto
P[T(x)]B2’=A QxB1’
[T(x)]B2’=P-1A QxB1’
A’=P-1AQ es la matriz de transformación
En especial, si (V,F) y (W,G) son los mismos, entonces
A’=P-1AP
Definición. Se dice que dos...