TRANSFORMACIONES CONFORMES, APLICACIONES Y PROPIEDADES

TRANSFORMACIONES CONFORMES, APLICACIONES Y PROPIEDADES
Factores de escala
Se define como

Aunque el ángulo de rotación argf’(z) y el factor de escalar varían punto a punto de la continuidad de f’ se sigue que sus valores son aproximadamente argf’(z0) y en puntos cercanos al z0. Por tanto, la imagen de una pequeña región en un entorno de z0 es conforme con laregión original en el sentido de que tiene aproximadamente la misma forma. Sin embargo, una región grande puede ser transformada en una región sin parecido con la original.
Inversas locales
Una transformación w = f(z) conforme en un punto z0 tiene inversa local en él. Esto es, si w0 = f(z0), entonces existe una única transformación z = g(w) definida y analítica en un entorno N de w0, tal que g(w0)= z0 y f[g(w)] = w para todo los puntos w de N.


APLICACIONES DE LAS TRANSFORMACIONES CONFORMES

Las transformaciones conformes sirven para resolver problemas físicos relacionados con la ecuación de Laplace en dos variables independientes. Su uso se basa principalmente a la invarianza de algunas condiciones de contorno bajo cambios de variable definidos por transformaciones conformes.
Latécnica fundamental para resolver problemas de contorno es transformar un problema de contorno dado en el plano xy en uno más simple en el plano uv y usar entonces diversos resultados con el fin de escribir la solución del problema original en términos de la solución obtenida para el problema más simple.
Analizaremos problemas de conducción de calor, de potenciales electrostáticos y de flujo defluidos.


TEMPERATURAS ESTACIONARIAS

En la teoría de la conducción del calor, el flujo a través de una superficie interior a un sólido en un punto de esa superficie es la cantidad de calor que fluye en la dirección normal a la superficie por unidad de tiempo y por unidad de área en ese punto. Por tanto, el flujo se mide en unidades de calor por segundo por centímetro cuadrado. Se denota por Φy su variación es proporcional a la derivada normal de la temperatura T en ese punto de la superficie:
(K>0)
La relación (1) se conoce como la ley de Fourier y la constante K se llama conductividad térmica del material del sólido, que supondremos homogéneo.
Los puntos del sólido se identifican mediante coordenadas rectangulares en el espaciotridimensional. Restringimos nuestra atención a aquellos casos en los que la temperatura T varía sólo con las coordenadas x e y. Como T no varía con la coordenada del eje perpendicular al plano xy, el flujo de calor es bidimensional y paralelo a ese plano.
Suponemos que dentro del sólido no se crea ni se destruye energía térmica, es decir, no hay en él fuentes o sumideros de calor. Además suponemosque la función temperatura T(x, y) y sus derivadas parciales de primer y segundo orden son continuas en todo punto del interior del sólido.
Consideremos ahora un elemento de volumen interior del sólido en forma de prisma rectangular de altura unidad, perpendicular al plano xy, con base de lados Δx, Δy en ese plano. El ritmo temporal del flujo de calor hacia la derecha, a través de la caraizquierda, es ; el ritmo de flujo hacia la derecha a través de la cara de la derecha es . Restando el primero del segundo, obtenemos el ritmo neto de pérdida de calor de ese elemento de volumen por esas dos caras. El ritmo resultante se puede expresar

o como
(1)
si ∆x es muy pequeño. Obviamente (1) es una expresión aproximada cuya precisión aumentacuando ∆x, ∆y se hacen cada vez más pequeños.
Análogamente, el ritmo resultante para la pérdida de calor a través de las otras dos caras perpendiculares al plano xy viene dada por
(2)
Como el calor entra o sale del elemento de volumen únicamente a través de esas cuatro caras y las temperaturas dentro de él son estacionarias, la suma de las expresiones (1) y (2) debe ser...