Transformaciones de coordenadas

Unidad 2 Lugares Geométricos
Sección 2.7 Transformación de coordenadas.

Una transformación es una operación por la cual una relación, expresión o figura se cambia en otra siguiendo una ley dada la cual se expresa en una o más ecuaciones que reciben el nombre de ecuaciones de transformación.
Como hemos observado en los temas anteriores, el objeto primordial de la Geometría Analítica esdeducir las propiedades de las curvas geométricas y el estudio de sus ecuaciones. Se facilita su estudio cuando se logra simplificar su ecuación, lo cual se logra mediante una transformación de los ejes de coordenadas, cuyo proceso se reduce a 2 movimientos: una de traslación y otro de rotación.
Traslación de ejes
Sean OX, OY los ejes originales y sean O’X’, O’Y’ los nuevos ejes, cuyo origen tienelas coordenadas (h,k) con respecto al primer sistema.
Supongamos que (x,y) son las coordenadas de un punto P con respecto de los ejes originales, y (x’,y’) las coordenadas del mismo punto, respecto de los nuevos ejes como se indica en la figura siguiente:
[pic]

Determinamos x e y en función de x’, y’, h y k por suma y diferencias de segmento, observamos que, las ecuaciones de la translaciónde ejes, son:
x = h + x’ y = k + y’
Rotación de ejes:
La rotación de ejes consiste en que dado un sistema de ejes cartesianos, hallar otro de tal forma que sus ejes formen un ángulo cualquiera con referencia a los primeros, coincidiendo los orígenes de ambos sistemas. Sean 0X, 0Y los ejes originales y sean 0X', 0Y', los nuevos ejes girados a un ángulo [pic] con respecto a losprimeros como se indica en la figura:
[pic]
[pic]
Para determinar x y y en función de x', y' y el ángulo [pic] se tiene:
x = [pic]= x' cos [pic]- y' sen [pic]
y = [pic]= x' sen [pic]+ y' cos [pic]
Por consiguiente las fórmulas de rotación de coordenadas son:
x = x' cos [pic]- y' sen [pic]
y = x' sen [pic]+ y' cos [pic]

Ejemplos:
1. Transformar la ecuación 2x2 + 3y2 - 8x + 6y = 7, cuandose traslada el origen de coordenadas al punto ( 2 , -1 ).
Solución:
Las coordenadas del nuevo origen son O’(2,-1) sustituyéndolas en las ecuaciones de traslación se obtiene:
x = x' + h ( x = x' + 2
y = y' + k ( y = y' + (-1) ( y = y' - 1
Sustituyendo en la ecuación dada, tenemos:
2(x' + 2)2 + 3(y' - 1)2 - 8(x' + 2) + 6(y' - 1) = 7
Desarrollando ysimplificando:
2(x'2 + 4x' + 4) + 3(y'2 - 2y' + 1) - 8x' - 16 + 6y' - 6 = 7
2x'2 + 8x' + 8 + 3y'2 - 6y' + 3 - 8x' + 6y' - 22 = 7
2x'2 + 3y'2 = 18 ( [pic]Ecuación de una elipse horizontal con centro en el nuevo origen y eje mayor sobre el eje X'.
2. Transformar la ecuación x2 + y2 + 6x + 4y - 3 = 0 trasladando los ejes al nuevo origen (-3 , -2).
Solución:
Sustituyendo h = -3 y k =-2 en las ecuaciones de traslación, se tiene:
x = x' + h ( x = x' - 3
y = y' + k ( y = y' - 2
Sustituyendo en la ecuación dada:
(x' - 3 )2 + (y' - 2)2 + 6(x' - 3 ) + 4(y' - 2) - 3 = 0
x'2 - 6x' + 9 + y'2 - 4y' + 4 + 6x' - 18 + 4y' - 8 - 3 = 0
x'2 + y'2 -16 = 0 ( x'2 + y'2 = 16 Ecuación de la circunferencia con centro en el nuevo origen.SIMPLIFICACIÓN DE ECUACIONES POR TRASLACIÓN DE EJES
En los ejemplos anteriores, puede observarse que la transformación de las ecuaciones aplicando traslación de ejes, conduce a otras ecuaciones más simples, sin alterar los lugares geométricos, es decir, dada la ecuación de una curva, es posible hallar un nuevo sistema de ejes tal que nos proporcione otra ecuación más sencilla, los siguientes ejemplos nosmuestran su aplicación.

3. Simplificar la ecuación x2 + y2 - 10x + 4y - 7 = 0 haciendo que los términos de primer grado se anulen.
Solución:
Sustituyendo x = x' + h e y = y' + k en la ecuación dada se obtiene:
(x' + h)2 + (y' + k)2 - 10(x' + h) + 4(y' + k) - 7 = 0
Desarrollando términos
x'2 + 2x'h + h + y'2 + 2y'k + k - 10x' - 10h + 4y' + 4k - 7 = 0

Para que...