Transformaciones geometricas

Transformaciones Geométricas Bidimensionales

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TRANSFORMACIONES
GEOMÉTRICAS
BIDIMENSIONALES

Computación Gráfica

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Tema 3
Con los procedimientos para desplegar primitivos de salida y sus atributos, podemos crear
una variedad de imágenes y gráficas. En muchas aplicaciones también es necesario alterar
o manipular los despliegues. Se crean aplicaciones de diseño y planos deconstrucciones al
ordenar las orientaciones y los tamaños de las partes que componen la escena. Las
transformaciones geométricas básicas son traslación, rotación y escalación. Otras
transformaciones que se aplican con frecuencia en objetos incluyen la reflexión y el
recorte. Primero analizamos los métodos para realizar transformaciones geométricas.

3.1 Transformaciones Básicas
Aquí, estudiamosprimero los procedimientos generales para aplicar parámetros de
traslación, rotación y escalación para cambiar la posición y el tamaño de objetos
bidimensionales. Consideramos cómo se puede expresar ecuaciones de transformación en
una formulación de matriz más conveniente que permite combinar de manera eficiente
transformaciones de objetos.

3.1.1 Traslación
Se aplica una traslación en unobjeto para cambiar su posición a lo largo de la trayectoria e
una línea recta de una dirección de coordenadas a otra. Convertimos un punto
bidimensional al agregar las distancias de traslación, tx y ty a la posición de coordenadas
original (x, y) para mover el punto a una nueva posición (x’, y’)
x’ = x + tx ,

y’ = y + ty

(3-1)

El par de distancia de traslación (tx , ty) se llamavector de traslación o vector de cambio.
Podemos expresar las ecuaciones de traslación 3-1 como una sola ecuación matricial al
utilizar vectores de columna para representar las posiciones de coordenadas y el vector de
traslación :

 x1 
P = 
x2 

,

 x '1 
P’ =  
 x' 2 

,

t x 
T=  
t y 

(3-2)

Esto nos permite expresar las dos ecuaciones de traslaciónbidimensional en la forma de
matriz :
P’ = P + T

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Dpl. Ing. Carlos Balderrama Vásquez

(3-3)

Transformaciones Geométricas Bidimensionales

Figura 3-1Traslación de un punto de la posición P a la posición P’ con el vector de
traslación T.
La traslación es una transformación de cuerpo rígido que mueve objetos sin deformarlos.
Es decir, se traslada cada punto del objeto la mismadistancia. Se traslada un segmento de
línea recta al aplicar la ecuación de transformación 3-3 en cada uno de los extremos de la
línea y se vuelve a trazar la línea entre las nuevas posiciones de los extremos. Los
polígonos se trasladan al sumar el vector de traslación a la posición de coordenadas de
cada vértice y se vuelve a generar el polígono utilizando el nuevo conjunto de coordenadas
devértices y las especificaciones actuales de los atributos. La figura 3-2 ilustra la
aplicación de un vector de traslación específico para mover un objeto de una posición a
otra.

Figura 3-2 Movimiento de un polígono de la posición (a) a la posición (b) con el vector
de traslación (-2.20, 3.72).

Computación Gráfica

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Tema 3

3.1.2 Rotación
Se aplica una rotación bidimensional en unobjeto al cambiar su posición a lo largo de la
trayectoria de una circunferencia en el plano de xy. Para generar una rotación,
especificamos un ángulo de rotación θ y la posición (xr , yr ) del punto de rotación (o
punto pivote) en torno al cual se gira el objeto (figura 3-3). Los valores positivos para el
ángulo de rotación definen rotaciones en sentido opuesto a las manecillas del relojalrededor del punto pivote, como en la figura 3-3, y los valores negativos giran los objetos
en la dirección del reloj. También es posible describir esta transformación como una
rotación sobre el eje de rotación que es perpendicular al plano de xy y pasa a través del
punto pivote.
Primero determinamos las ecuaciones de transformación para la rotación de la posición de
un punto P cuando el punto...