Transformaciones Geometricas

Transformaciones geométricas. Isometrías o movimientos

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CAPÍTULO PRIMERO

1. Transformaciones geométricas. Isometrías o movimientos

Definiciones 1. Sea En un espacio afín euclídeo de dimensión n. Llamaremos transformación geométrica de En, a toda aplicación T : E n  E n biyectiva.

Dada T, transformación geométrica de En, a cualquier par de puntos A, A '  E n 2. tales que T(A)  A' , se les denomina puntos homólogos por T.
3.

Si T(A)  A ' , se dice que A es un punto doble o invariante por T.
F  E n si T(F)  F , se dice que el subconjunto F es

4. Análogamente, sea invariante por T.

5. Llamaremos transformación identidad o identidad de En y la designaremos por I En , a la transformación tal que todos sus puntos son dobles; es decir,
A  E n  I En  A   A6.

Se dice que T es una transformación involutiva de En si T 2  I En ; es decir,

T  T  IEn
7. Las transformaciones geométricas que conservan los ángulos se llaman transformaciones conformes o isogonales. Estudiaremos, en primer lugar, aquellas transformaciones geométricas que tienen como característica esencial que conservan las distancias: son las llamadas isometrías o movimientos.8. Sea V el R-espacio vectorial asociado al espacio afín euclídeo En. Denotando por d la métrica definida en E, diremos que una transformación geométrica T : E n  E n es una isometría si verifica que para todo par de puntos A, B de En: d(T(A),T(B))=d(A,B). 1
1Nota: Usualmente se denominan movimientos a aquellas isometrías que conservan la orientación de las

figuras. Por convenio utilizaremosla denominación de movimiento para todo tipo de isometría añadiendo "directo" si se trata de una isometría que conserva la orientación de las figuras. U. D. de Matemáticas. ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM 1

Transformaciones geométricas. Isometrías o movimientos

1.1 Aplicación vectorial asociada a una transformación geométrica

Dada la transformación geométrica T : E n E n , se denomina aplicación
asociada a la aplicación f : Vn  Vn  donde, sea O  E n , u  Vn , existe   X  E n tal que, u  OX        f (u)  f (OX)  T(O)T(X)  O ' X '  u ' siendo T(O)  O ' y T(X)  X ' Proposición: La aplicación f no depende del punto O elegido.

X

u
O

X’

u’
O’

T es una aplicación afín de En si su aplicación f asociada es unatransformación lineal.

1.2.

Aplicación vectorial asociada a una isometría o movimiento

Si T : E n  E n es una isometría entonces su aplicación asociada f : Vn  Vn verifica: 1. f conserva el producto escalar (p. e.) 2. f es lineal 3. f es biyectiva Demostración:  En efecto: fijado O  E n , un punto cualquiera, entonces u  Vn , existe X  E n tal que,   u  OX . Además sidesignamos por T(O)  O ' , T(X)  X ' , entonces, se define    f (u)  O ' X '  u ' , luego: f Vn  Vn       u  OX  O ' X '  u '        1. f conserva el producto escalar: f (u)  f (v)  u  v u, v  Vn .        Sean u, v  Vn , entonces existen A, B  E n tales que u  OA y v  OB si T : E n  E n es una isometría, luego d(T(A),T(B))=d(A,B) siendo A'=T(A)B'=T(B),

Por definición: d  A, B   AB  d  A, B   AB 
2

 

 

2

                             AB AB   OB  OA    OB  OA   OB OB  2 OB OA  OA OA     

OB  2 OB OA  OA  (1) Análogamente,

 

   

 

d  A ', B'  A 'B'  d  A ', B'  A 'B' 
2

 

 

2

U. D. deMatemáticas. ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM

2

Transformaciones geométricas. Isometrías o movimientos

                 A 'B' A 'B'   O 'B' O 'A '    O ' B' O ' A '      

O ' B ' O ' B ' 2 O ' B ' O ' A ' O ' A ' O ' A '  O ' B'  2 O ' B' O 'A ' O ' A ' 
       AB  d  A, B   d  A ', B'  A ' B'      ...