Transformaciones Geometricas

TRANSFORMACIONES
GEOMÉTRICAS
Ensayo

Equipo:
Erick Gustavo Giles de Paz
Juan Miguel Cabrera
Irvin Nava Rancaño
Miguel Angel Bello Rivera
Iván Sánchez Martínez

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Trasformaciones geométricas

Traslación
La traslación es la modificación de las coordenadas de un conjunto de puntos, de manera
que sus distancias relativas se conserven y sólo se modifique su posición en relación al plano
cartesiano.Las coordenadas nuevas se obtienen sumando un vector personalizado a la
representación vectorial del punto. Esta es una de las operaciones más simples, sin
embargo, su complejidad algebraica incrementa para funciones más complejas.

Rotación
Se aplica una rotación bidimensional en un objeto al cambiar su posición a lo largo de la
trayectoria de una circunferencia en el plano de xy. para generaruna rotación,
especificamos un ángulo de rotación θ y la posición (xr, yr) del punto de rotación (o punto
pivote) en torno al cual se gira el objeto.
Los valores positivos para el ángulo de rotación definen rotaciones en sentido opuesto a las
manecillas del reloj alrededor del punto pivote y los valores negativos giran los objetos en
la dirección del reloj. También es posible describir estatransformación como una rotación
sobre el eje de rotación que es perpendicular al plano de xy y pasa a través del punto pivote.

Rotación de un punto desde la
posición (x, y) a la posición (x’, y’)
a través de un ángulo θ con
respecto del origen de las
coordenadas. El desplazamiento
angular original del punto desde
el eje de las x es ϕ.

Escalación
La operación de escalado modifica la distancia de lospuntos sobre los que se aplica,
respecto a un punto de referencia. Para definir esta operación son necesarios dos factores
de escala, Sx y Sy, según las direcciones x e y, y un punto o eje de referencia.
Existen dos tipos de escalado:
Escalado uniforme: El factor de escala es el mismo en las dos coordenadas, es decir Sx=Sy,
y por lo tanto varía el tamaño pero no la forma del objeto.
TRASFORMACIONESGEOMÉTRICAS

TRABAJO EN EQUIPO

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Trasformaciones geométricas

Escalado diferencial: El factor de escala es distinto en cada dirección, es decir Sx es distinto
de Sy, y se produce una distorsión en la forma del objeto.
La transformación de escalamiento puede expresarse con las siguientes multiplicaciones

𝑥′ = 𝑥. 𝑆𝑥 , 𝑦′ = 𝑦. 𝑆𝑥
En forma matricial:
Concatenar matrices de transformación para dosoperaciones de escalación sucesivas
produce la siguiente matriz de escalación compuesta:

𝑃´ = 𝑆(𝑠𝑥 , 𝑠𝑦 ) ∗ 𝑃

𝑥
𝑠𝑥
⌊𝑦 ⌋ = ⌊ 0
1
0

0
𝑠𝑦
0

𝑥
0
0⌋ ∗ ⌊𝑦 ⌋
1
1

La matriz resultante en este caso indica que las operaciones de escalación sucesivas son
multiplicativas. Es decir, si debiéramos triplicar el tamaño de un objeto dos veces en una
sucesión, el tamaño final sería nueve veces el tamañooriginal.
Se escala a ½ en el eje x y a ¼ en el eje y.
El escalamiento se efectúa con respecto al origen;

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TRABAJO EN EQUIPO

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Trasformaciones geométricas

Coordenadas homogéneas y representación matricial
Representación matricial
Son diversas las aplicaciones que involucran secuencias de transformaciones geométricas,
por ejemplo, la animación requiere que los objetos setrasladen y roten en cada fotograma.
Cada transformación puede representarse como:
P’= P M1 + M2
Donde:



La matriz M1 tiene la información correspondiente de factores de escala y ángulos.
La matriz M2 sujeta los términos de traslación asociados al punto fijo y al centro de
rotación.

Para poder producir una serie de transformaciones hay que calcular las coordenadas nuevas
en cada una de lastransformaciones.
P’’=P’ M3 + M4 = … = P M1 M3 + M2 M3+ M4
Se busca dar una solución más eficiente que permita combinar las transformaciones para
obtener directamente las coordenadas finales a partir de las iniciales.
Coordenadas homogéneas
El uso de coordenadas homogéneas permite tratar todas las transformaciones geométricas
como una multiplicación de matrices.
Para eliminar la matriz M2 y usar...