Transformaciones Lin

eales
Escuela Superior Politecnica del Litoral

Algebra Lineal
Prof. Ing. Maria Nela Pastuizaca

Capitulo #8
Transformación lineal
Definición
Sean V y W espacios vectoriales. Una transformación lineal T de V en W (T: V→W) es una funcion que asigna a cada vector v[pic]V un vector unico T(v)[pic]W y que satisface:
A.1)[pic]
A.2)[pic]

Ejemplo:

[pic]

[pic]T es un operador lineal[pic]

No se cumple el primer axioma, por lo tanto T no es lineal.

Teorema:
Si T de V en W es una transformación lineal entonces:

• La imagen del cero vector de V es el cero vector de W.
[pic]
Demostración:
[pic]
[pic]
• La imagen del inverso de X es el inverso de X.
[pic]
Demostración:
[pic]
[pic]
• La transformada de la combinación lineal es la combinación lineal de latransformada.
[pic]
Demostración:
Inducción matemática
P(n)[pic][pic]
1.





2.
Suponer: P(K)[pic]1
[pic]
[pic]

Ojo: en la inducción matemática solo se trata naturales.
Nota: [pic]porque no me asegura que se cumpla esto.

Ejercicio:
Sea [pic] una transformación lineal tal que
[pic]
Determine [pic]
[pic]
Ubicamos las combinaciones lineales en una matriz para obtener los [pic][pic][pic]
[pic]

Otra manera de llegar a la misma respuesta es la siguiente:

[pic]

[pic]

Núcleo o kernel de una transformación lineal
Definición: sea T de V en W una transformación lineal entonces el núcleo de la transformación denotada por Nu(T) o Ker(T) se define como [pic].

A la dimensión del núcleo de T se lo conoce como nulidad de T y se denota por [pic].

Imagen orecorrido de una transformación
Definición: sea T de V en W una transformación lineal entonces el recorrido de la transformación denotada por Re(T) o Im(T) se lo define como [pic].

A la dimensión de la imagen de T se lo conoce como rango de T y se denota por [pic].

Teorema:
Sea T de V en W una transformación lineal entonces:

1. El núcleo de T es un subespacio de V.
Demostración:
1) V es unE.V.








2) [pic]
[pic]

2. El recorrido de T es un subespacio de V.

1) [pic]
[pic]
2) [pic]
[pic]

[pic]Re(T) es un subespacio de V.

Ejercicio:
Determine el núcleo, el recorrido, la nulidad y el rango de la transformación dada.

a) [pic]
[pic]
[pic]
[pic]

[pic]
Sea P(x)=ax2+bx+c

[pic]

Determine el núcleo, el recorrido, la nulidad y el rango de latransformación dada.

b) [pic]
[pic]

[pic]
[pic]
[pic]
[pic]

Determine el núcleo, el recorrido, la nulidad y el rango de la transformación dada.

c)[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Representación matricial
Sea [pic]una transformación finita. Entonces existe una matriz única de mxn AT tal que T(x)=AT.x, x[pic].

Dicha matriz se denomina, matriz de información correspondiente a T orepresentación matricial de T.
1) [pic]
Núcleo de la transformación=núcleo de la matriz asociada
[pic]
[pic]

Teorema:
Sea T de Rn en Rm una transformación lineal. Si AT es la matriz asociada a T, entonces:

[pic]

Ejercicios:
Sea [pic]
[pic];determine A(T), Nu(T), Im(T),[pic], [pic].
[pic]

¿Como resolver el sistema?
[pic]
[pic]
[pic]

Teorema:
Sea V un espacio vectorial de dimensión “n”y W un espacio vectorial de dimensión “m” y T:V[pic]W una transformación lineal sea: [pic]una base de V y [pic] una base de W, entonces existe una matriz única AT de mxn tal que:
[pic]
Dicha matriz se denomina matriz asociada a la transformación con respecto a B1 y B2 y esta dada por:
[pic]

Demostración:

[pic]

[pic]

Suponemos:

[pic]

[pic]
[pic]

Ejercicio:

Determine lamatriz asociada a la transformación:
[pic]

Determine A(T) con respecto a:
[pic]
Solución:
[pic]
[pic]
[pic][pic]
T:[pic]
[pic]
Hallar A(T) con respecto a:

a) base canónica
[pic]


Solución:
[pic]
• [pic]
• [pic]
• [pic]
Respuesta:[pic]

Sea [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Determine:
[pic]


Solución:


a)[pic]
[pic][pic]...