Transformaciones Lineales 1

INSTITUTO TECNOLOGICO DEL VALLE DE MORELIA
ALGEBRA LINEAL
TRANSFORMACIONES LINEALES
PROFESOR: ING. MILLAN MONTAÑEZ ALBERTO
PRESENTADO POR: JOAQUIN HERRERA CASTILLO
GRUPO 12 AGRONOMIA
04/06/2015

INTRODUCCION ALAS
TRANSFORMACIONES LINEALES
Definición: Las transformaciones lineales son las
funciones y tratan sobre K-espacios vectoriales
que son compatibles con la estructura (es
decir, con laoperación y la acción) de estos
espacios.

INTRODUCCION A LAS
TRANSFORMACIONES LINEALES
Aquí se presentan las funciones entre espacios vectoriales que
preservan las cualidades de los
espacios vectoriales. Es decir, de funciones que preservan la
suma y la multiplicación por escalares.
Nosotros usaremos el concepto de la función para darle un
tratamiento a los sistemas de ecuaciones lineales. Larestricción
que haremos será sobre el tipo de funciones: solo estaremos
interesados en funciones que preserven las operaciones en el
espacio vectorial. Este tipo de funciones serán llamadas
funciones lineales. Primeramente las definiremos, veremos
algunas propiedades generales y después veremos como se
aplican estos resultados a sistemas de ecuaciones.

Sean V y W dos espacios vectoriales posiblementeiguales.
 

EJEMPLOS

Una transformación lineal o mapeo lineal de V a W es una función
T : V → W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c:
        
a) T (u + v) = T (u) + T (v)
       
  b) T (c u) = c T (u)
Demuestre que la transformación T : R2 →R2 definida por
                        
es lineal. 

SOLUCION
                  
                  

Entonces :                     
  

POR OTRO LADO PARA TODA
ESCALAR

Como se cumplen las dos condiciones:       
                      
   

T es lineal.
Una transformación lineal preserva combinaciones lineales. Veremos que,
debido a esto, una transformación lineal queda unívoca-mente determinada por
los valores que toma en los elementos de una base cualquiera de su dominio.

NUCLEO E IMAGEN DE UNA
TRANSFORMACION LINEAL
Teorema  1Sea T: V S W una transformación lineal. Entonces para todos los
vectores u, v, v1,
v2, . . . , vn en V y todos los escalares a1, a2, . . . , an:
i. T(0) = 0
ii. T(u - v) = Tu - Tv
iii. T(a1v1 + a2v2 +. . .+ anvn) = a1Tv1 + a2Tv2 +. . .+ anTvn
Nota. En la parte i) el 0 de la izquierda es el vector cero en V; mientras
que el 0 de la
derecha es el vector cero en W.

Teorema 2
Sea V un espaciovectorial de dimensión
finita con base B = {v1, v2, . . . , vn}.
Sean w1,
w2, . . . , wn vectores en W. Suponga
que T1 y T2 son dos transformaciones
lineales de V
en W tales
que T1vi = T2vi = wi para i = 1, 2, . . . , n.
Entonces para cualquier vector v ∈
V, T1v = T2v; es decir T1 = T2.

Ejemplo

Definición 1 Núcleo e imagen de una transformación lineal
Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T:V Wuna transformación
lineal. Entonces
 i . El núcleo de T, denotado por un, está dado por

ii. La imagen de T, denotado por Im T, esta dado por

Observación 1. Observe que un T es no vacío porque, de
acuerdo al teorema 1, T(0) = 0 de manera que 0 ϵ un T para
cualquier transformación lineal T. Se tiene interés en
encontrar otros vectores en V que “se transformen en 0”. De
nuevo, observe que cuandoescribimos T(0) = 0, el 0 de la
izquierda está en V y el de la derecha en W.
 
Observación 2. La imagen  de T es simplemente el conjunto
de “imágenes” de los vectores en V bajo la transformación T.
De hecho, si w = Tv, se dice que w es la imagen de v bajo T.
 

Teorema 4
Si T:V W es una transformación lineal, entonces
i.Un T es un subespacio de V.
ii.Im T es un subespacio de W.
 
Demostración
i.Sean u y v en un T; Entonces T(u + v) = Tu + Tv =0 + 0 =0 y T( )
=  = 0 = 0 de forma que u + v y ∝u están en un T.
ii. Sean w y x en Im T. Entonces w = Tu y x = Tv para dos vectores
u y v en V. Esto significa que T(u + v)= Tu + Tv = w + x y T( ∝u)
= ∝Tu =∝w. Por lo tanto, w + x y ∝w están en Im T.

Ejemplo 3.  Núcleo e imagen de la transformación cero
Sea Tv = 0 para todo vϵ V(T es...