Transformaciones lineales de rotacion

TRANSFORMACIONES LINEALES DE ROTACION

Las rotaciones son transformaciones lineales que conservan las normas en espacios
vectoriales en los que se ha de nido una operación de producto interior. Lamatriz de transformación tiene la propiedad de ser una matriz unitaria, es decir,
es ortogonal y su determinante es 1.
Sea un vector A en el plano cartesiano De nido por sus componentes x e y,descrito vectorialmente a través de sus componentes:

A = (Ax/Ay)

La operación de rotación del punto señalado por este vector alrededor de un eje
de giro puede siempre escribirse como la acción deun operador lineal (representado
Por una matriz) actuando sobre el vector (multiplicando al vector) .
En dos dimensiones la matriz de rotación para el vector dado puede escribirse
De la manerasiguiente:

Al hacer la aplicación del operador, es decir, al multiplicar la matriz por el
Vector, obtendremos un nuevo vector A0 que ha sido rotado en un ángulo _ en
Sentido anti horario: RA = A0,es decir

Donde A0x = Ax cos _−Ay sin _ y A0y = Ax sin _+Ay cos _ son las componentes
del nuevo vector después de ser rotado.
Teorema de rotación de

El teorema de rotación de Euler dice quecualquier rotación o conjunto de
rotaciones sucesivas puede expresarse siempre como una rotación alrededor de una
única dirección o eje de rotación principal. De este modo, toda rotación (o conjunto
derotaciones sucesivas) en el espacio tridimensional puede ser especi_cada a través
del eje de rotación equivalente de_nido vectorialmente por tres parámetros y un
cuarto parámetro representativo delángulo rotado. Generalmente se denominan
a estos cuatro parámetros grados de libertad de rotación.
Ejemplo. (Rotación por un ángulo[pic]
[pic]
 )
[pic]
Sea [pic]
[pic]
  un ángulo medido enradianes. Queremos averiguar  cual es la transformación  T  de [pic]
[pic]
  en  [pic]
[pic]
 que gira cada vector  [pic]
[pic]
 un ángulo [pic]
[pic]
, para obtener un vector [pic]
[pic]
....