Transformaciones lineales de vectores dentro de una matriz

Transformaciones Lineales

1). Si V1 = (1,-1), V2 = (2,-1), V3= (-3,2) y W1= (1,0), W2= (0,-1), W3= (1,1). ¿Existe una
Transformación lineal T: R2R, tal que T (vi) = Wi para i = 1, 2,3?Solución:

Si { v1, v2 , v3 }es base de R2, entonces existe una única transformación lineal
T: R2 R

Pero:
(-3,2) = -(1,-1) – ( 2,-1)
{ v1, v2 , v3 } no es linealmente Independiente
{ v1, v2 ,v3 }no es base de R2
no existe tal transformación lineal
2) . Sea T: R3R3 , transformación lineal , tal que :

T (1,1,1) = (1,0,2) ; T ( 1,0,1) = ( 0,1,1) ; T ( 0,1,1) = ( 1,0,1)
Encontrar T(x,y,z)

Solución:
Por demostrar que el conjunto {(1,1,1), (1,0,1),(0,1,1)} es base de R3
Sea a.b.c R, tal que .
a(1,1,1) + b(1,0,1) + c(0,1,1) = (0,0,0)
a + b = 0
a + c = 0 a = b = c = 0
a+ b + c = 0

Luego {(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)} es linealmente Independiente
Sea (x,y,z) R3 , entonces existen escalares a, b,c R tal que:
a(1,1,1) + b( 1,0,1) + c(0,1,1) =(x,y,z)
a + b = x
a+ c = y a = x + y - z ; b = z - y ; c = z - x
a + b + c = z

USACH – Álgebra 2005

Luego {(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)} es base de R3
Existe una única T transformación lineal de R3 en R3 tal que:T(1,1,1) = (1,0,2) , T(1,0,1) = (0,1,1) , T(0,1,1) = (1,0,1)
T(x,y,z) = T(a(1,1,1) + b(1,0,1) + c(0,1,1))
T(x,y,z) = aT(1,1,1) + bT(1,0,1) + cT(0,1,1)
T(x,y,z) = (x+y-z)T(1,1,1) + (z-y)T(1,0,1) +(z-x)T(0,1,1)
T(x,y,z) = (x+y-z)(1,0,2) + (z-y)(0,1,1) + (z-x)(1,0,1)
T(x,y,z) = (y , z-y , x+y)

3) .Sea T: R2R transformación lineal definida por
T (x,y,z) = 2x -3y +z
a) Encontrar 
Tdonde = { (1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} y ={2}
b) Encontrar Kernel (T), Imagen (T), Nulidad (T) y Rango (T)
Solución:
a)
T( 1,0,0) = 2 = 1(2)
T(1,0,0) = 2-3 = -1 = -1/2 (2)
T(1,1,1) = 2-3+1 = 0 =0(2)
Luego:

ab1 1/ 2 0

Kernel (T) = { (x,y,z) R3 / T(x,y,z) = 0 }
Kernel (T) = { (x,y,z) R3 / 2x- 3y + z =0 }
Kernel (T) = { (x,y,z) R3 / -2x+ 3y = z }
Kernel (T) = {...