Transformaciones Lineales En 3D

Tema II
Transformaciones lineales
en 3D
Ricardo Ramos
Colaboradores: Luis Jiménez de la Fuente, Alberto Gómez Vicente, Jesús Moisés Peláez Navarro,
Emilio González González, Ignacio Coloma González
Antes de comenzar a estudiar el modelado o los métodos de renderizado conviene repasar algunos
aspectos fundamentales de los espacios cartesianos tridimensionales, como por ejemplo lastrasformaciones lineales, pues con frecuencia aparecen a lo largo del temario. Para entender
bien la materia que ahora veremos sería interesante desempolvar los conceptos elementales del
álgebra vectorial y matricial
1.1 Aspectos generales
Antes de comenzar el estudio de las trasformaciones lineales en el espacio
tridimensional, se han de repasar algunos conceptos básicos en este campo.
1.1.1Sistemas de referencia
Para la visualización de los objetos, éstos han de quedar ubicados en un sistema
universal de referencia (SUR), en el cual el eje Z, p. ej., puede tener
su origen en el plano Z− (orientación derecha), por lo que se dirige hacia
el observador (Figura 1-a), o bien tener orientación izquierda (Figura 1-b).
Todas las coordenadas de los distintos objetos han de estar dadas en unode
estos sistemas de referencia.
Figura 1: Sistemas de referencia con orientación diferente
Tema II: Transformaciones lineales en 3D − 2
1.1.2 Transformaciones lineales y matrices
La variación de la posición y/o el tamaño de los objetos, con respecto a los
sistemas de referencia, se hace mediante transformaciones lineales. Las
transformaciones lineales que veremos serán las siguientes:traslación,
cambio de escala, giro, y reflexión.
La Informática Gráfica suele utilizar la notación matricial para describir
las transformaciones lineales de los objetos. La convención más empleada
es que el punto (vértice) que se quiere transformar, se exprese mediante
un vector horizontal, multiplicado por la matriz de transformación. Por
ejemplo, en la expresión (x’, y’) = (x, y)·M, la matrizcorrespondiente a la
transformación lineal estaría indicada por M; el punto inicial (antes de la
transformación) sería el (x, y), y el resultado (o sea, la ubicación del punto en
el sistema de referencia después de la transformación lineal) sería el (x’, y’).
Dado que el estudio de las transformaciones lineales sobre modelos poliédricos
es más intuitivo, en adelante supondremos que losobjetos (modelos)
son de este tipo. Así, si un poliedro (objeto) tiene n vértices, para trasladar,
girar, etc. un objeto, se deberá aplicar la misma transformación lineal a
los n vértices del poliedro. En general, se aplicará la transformación a todos
los puntos significativos de los objetos.
1.1.3 Sistemas homogéneos
Según lo anterior, siendo V = (x, y) el vector de un punto inicial en el SUR-2D, T = ( , ) x y t t el vector de translación, y V’ = (x’, y’) las coordenadas del
punto resultante, ocurre que la traslación del punto se ha de realizar calculando
V’ = V + T,
ya que (x’, y’) = (x, y) + ( , ) x y t t , o lo que es igual, x’ = x + tx, e y’ = y + ty. Esta
manera de operar es extensible a cualquier dimensión.
Por otro lado, si E y G fuesen las matrices de escalado y giro,respectivamente,
ocurriría que
V’ = V·E y V’ = V·G
Vemos entonces que las traslaciones lineales de los puntos en el espacio
se efectúan sumando, mientras que los giros y los cambios de escala se
consiguen multiplicando. La heterogeneidad de los operadores supone un
problema a la hora de generalizar los procesos de las transformaciones, por
lo que para evitarlo, normalmente se utilizan sistemas[de referencia]
homogéneos. Básicamente, un sistema de coordenadas homogéneo es el
resultante de añadir una dimensión extra a un sistema de referencia dado.
Así, en el caso anterior, los vectores homogéneos de los puntos inicial y final
estarían dados por
V = (x, y, w), V’ = (x’, y’, w)
Por comodidad y sencillez, normalmente w = 1.
En definitiva, utilizando un sistema homogéneo, las...