Transformaciones lineales

TRANSFORMACIONES LINEALES |
UNIDAD V Alumno: Ana Irene Ortiz Peralta Catedrático: Ing. Jesús López Ortega |
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ING. CIVIL
ING. CIVIL
MATEMATICAS IV
MATEMATICAS IV

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INDICE
5.1 Definición de transformación lineal y suspropiedades.

5.2 Ejemplos de transformaciones lineales
(reflexión, dilatación, contracción, rotación)

5.3 Definición de núcleo o kernel, e imagen de una transformación
lineal.

5.4 La matriz de una transformación lineal y representación matricial
de una transformación lineal.

5.5 Transformaciones y sistemas de ecuaciones lineales.

5.6 Álgebra de las transformaciones lineales.5.7 Aplicaciones de las transformaciones lineales.











5.1 DEFINICIÓN DE TRANSFORMACIÓN LINEAL Y SUS PROPIEDADES.

Las transformaciones lineales desempeñan un papel muy importante en matemáticas, física, ingeniería, procesamiento de imágenes, graficas en computadora y muchas otras áreas de la ciencia y la vida diaria.

Las transformaciones lineales son mapeos deimportancia fundamental en el álgebra lineal y en sus aplicaciones. Son transformaciones entre espacios vectoriales que conservan la suma vectorial y la multiplicación por escalar.
Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales.

Una transformación lineal o mapeo lineal de V a W es una función T: V → W* tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c:

a) T(u + v)= T(u) + T(v)
b) T(c u) = c T(u)
*Escribimos T: V → W para indicar que T transforma V en W



Las transformaciones lineales se llaman con frecuencia operadores lineales. También, las funciones que satisfacen a) y b) se denominan funciones lineales.
En R2 definamos una función T por la fórmula Txy=x-y geométricamente, T toma un vector en R2 y lo transforma en su reflexión conrespecto al eje x. una vez que hayamos dado la definición básica, veremos que T es una transformación lineal de R2 en R2.

Propiedades de las transformaciones lineales
Teorema 3: Sea T: V → W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores v1, v2,…,vn en V y todos los escalares c1,c2,…,cn:
T(c1v1+c2v2+…+cnvn)= c1Tv1+c2Tv2+…+cnTvn
Demostración:
Si T es lineal, entonces T(c1v1+ C2v2)= T(c1v1) + T(c2v2)=c1T(v1)+ c2T(v2)… y asi sucesivamente.
Así, las transformaciones lineales mapean una combinación lineal de vectores en la misma combinación lineal de las imágenes de esos vectores.

Teorema 4: sea T: V → W una transformación lineal. Entonces
1. T(0)= 0……. Esta transformación lineal mapea a todos los vectores de V en 0, en W se le llama transformación cero.2. T(u-v)= T(u)- T(v)
Demostración:
1.- T(0)= T(0v)= 0T(v)=0
2.-…haciendo que c1=1 y c2=-1
T(u-v)= T(1u+(-1)v)= 1T(u)+ (-1)T(v)= T(u) – T(v)

Teorema 5: sea T: V → W una transformación lineal y sea B= {v1,v2,…vn} el generador de V. entonces, el conjunto T(B)= {T(v1),T(v2)…,T(vn)} genera el contradominio de T.
Demostración:
Sea W ∈ R Entonces existe un v que pertenece a Vtal que T(v)=W. como B genera a V, hay escalares c tales que v=c1v1. Entonces
W= T(v)= T(c1v1+…+cnvn)=c1T(v1)+…+cnT(vn)
de aquí que W sea una combinación lineal de T(B)

Ejemplo





Ejemplo




5.2 EJEMPLOS DE TRANSFORMACIONES LINEALES (REFLEXIÓN, DILATACIÓN, CONTRACCIÓN, ROTACIÓN)

Homotecia

Para un escalar fijo c. T: V → W es lineal.

T(v)= cv

Sea u y w ∈V y r ∈ R. T es lineal porque

T(u+w)= c(u + w)= cu + cw= T(u) + T(w)
T(ru)= c(ru)= rT(u)

Si c > 1, la homotecia es una dilatación, y su efecto sobre v es estirarlo en un factor de c. Si 0 < c < 1, la homotecia es una contracción, y su efecto sobre v es encogerla en un factor de c. si c <0, esta transformación invierte la dirección de v.

Ahora bien, si T: R2 R2...