Transformaciones lineales

N´ cleo e imagen de una transformaci´n lineal u o
1. Objetivo. Definir el n´cleo y la imagen de una transformaci´n lineal, ver la relaci´n u o o con las propiedades inyectiva y sobrayectiva, estudiarejemplos. 2. Requisitos: transformaci´n lineal, nociones generales de una aplicaci´n, imagen de un o o conjunto bajo una aplicaci´n, preimagen de un conjunto bajo una aplicaci´n. o o 3. Definici´n(imagen de una transformaci´n lineal). Sean V, W espacios vectoriales o o sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W ). La imagen de T se define como el conjunto de todos los valores de la aplicaci´n T : o im(T ):= {y ∈ W : ∃x ∈ V tal que y = T (x)}. 4. Definici´n (n´ cleo de una transformaci´n lineal). Sean V, W espacios vectoriales o u o sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W ). El n´cleo (kernel, espacio nulo)de T se define u como la preimagen completa del vector nulo: ker(T ) := {x ∈ V : T (x) = 0}. 5. Proposici´n (n´ cleo de una transformaci´n lineal es un subespacio vectorial o u o del dominio). Sean V, Wespacios vectoriales sobre un campo F, T ∈ L(V, W ). Entonces ker(T ) es un subespacio de V . 6. Proposici´n (imagen de una transformaci´n lineal es un subespacio vectoo o rial del codominio). SeanV, W espacios vectoriales sobre un campo F, T ∈ L(V, W ). Entonces im(T ) es un subespacio de W . 7. Ejemplo (transformaci´n nula). La transformaci´n nula 0 : V → W est´ definida o o a mediante laf´rmula o 0(v) = 0W ∀v ∈ V. Es f´cil ver que ker(0) = V , im(0) = {0W }. a 8. Ejemplo (transformaci´n identidad). La transformaci´n identidad I : V → V o o est´ definida mediante la f´rmula a o I(v) = vObviamente ker(I) = {0}, im(I) = V . 9. Ejemplo (transformaci´n D). Consideremos el operador D : Poln (R) → Poln (R), o Df = f . Entonces im(A) = Poln−1 (F), ker(A) = Pol0 (F). ∀v ∈ V.

p´gina 1 de 2 a10. Ejemplo (proyecci´n en V 2 (O)). Sea P el operador de proyecci´n sobre o o lelamente a 2 . Entonces ker(P ) = 2 , im(P ) = 1 . 11. Ejemplo. Operador de multiplicaci´n por o T : R2 → R2 , Es...