transformaciones lineales

Aplicación lineal.
En matemática una aplicación lineal (también llamada función lineal, transformación lineal u operador lineal) es una aplicación entre dos espacios vectoriales, que preserva lasoperaciones de suma de vectores y producto por un escalar.
En álgebra abstracta una aplicación lineal es un homomorfismo entre espacios vectoriales o en el lenguaje de la teoría de categorías unmorfismo sobre la categoría de los espacios vectoriales sobre un cuerpo dado.
Definición
Se denomina aplicación lineal, función lineal o transformación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominiosean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:
Sean y espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo , y una función de en . es una transformación lineal si para todo par devectores y pertenecientes a y para todo escalar perteneciente a , se satisface que:
1.
2. donde k es un escalar.
Ejemplos
Transformación lineal identidad

Homotecias
con
Si k >1 se denominan dilataciones
Si k < 1 se denominan contracciones
Ver artículo sobre Homotecias
Propiedades de las transformaciones lineales
Sean y espacios vectoriales sobre (donde representael cuerpo) se satisface que:
Si es lineal, se define el núcleo (ker) y la imagen (Im) de de la siguiente manera:


Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por elconjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.
El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio vectorial del dominio:
1. dado que
2. Dados3. Dados
Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo.
La imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algúnvector del dominio.
• La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
• El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.


una función lineal es la...