Transformaciones Lineales










Índice




Pag.
Introducción

3
1. Transformaciones lineales

4
1.1 Definición de transformación lineal y sus propiedades

4
1.2 Ejemplos de transformaciones lineales (reflexión, dilatación, contracción, rotación)

7
1.3 Definición del núcleo o kernel, e imagen de una transformación lineal

11
1.4 La matriz de una transformación lineal yrepresentación matricial de una transformación lineal

13
1.5 Transformaciones y sistemas de ecuaciones lineales

15
1.6 Algebra de las transformaciones lineales

19
1.7 Aplicación de las transformaciones lineales.

19

Conclusión
22

Bibliografía

23










Introducción


Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector paraconvertirlo en otro vector.
Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales sepueden representar en términos de matrices, y viceversa.


Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones linealestienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.

Estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes tipos, así como la imagen, el núcleo, y como se desarrolla en las ecuaciones lineales.

























1. Transformaciones lineales


1.1 Definición de transformación lineal y sus propiedadesDefinición.   Sean  V  y  W  espacios vectoriales sobre el mismo campo k. Una transformación lineal  de V  en  W, es una función   tal que:
i)   ,  .
           ii)   ,  ,  .
En otras palabras, una transformación lineal es una función que respeta las operaciones definidas en los espacios vectoriales: “abre sumas y saca escalares”.
Observaciones:
i) Si   es una transformación lineal,entonces  .
En efecto . Por la ley de la cancelación en W, tenemos que .
Nótese que en realidad solo se usa la propiedad aditiva  (i) de T. Este hecho lo usamos en el siguiente inciso.
ii)  es lineal si y solo si , , .
Si T lineal, entonces . Inversamente, supongamos que , , . Probemos las dos condiciones para que  T  sea lineal:
a)    .
b)  
Nótese que usamos el hecho de que , lo cual esconsecuencia del comentario hecho al final del inciso (i).
iii)   es lineal si y solo si
,  .
La demostración se hace por inducción sobre n.
a)      Si  , entonces  , por la condición  (ii) de T.
b)      Supongamos válido para n. Probemos para :
Por la condición (i) de T, tenemos que, Y por hipótesis de inducción, tenemos que,
 
Así que podemos concluir que,

Este último inciso se puedeabreviar usando la notación sigma como sigue:

Veamos algunos ejemplos de transformaciones lineales, donde haremos uso extenso de la observación  (ii) de arriba.
Ejemplo 1. 
Sea   tal que  ,  . Entonces  T es lineal,  ya que , y  por otro lado, . Por lo tanto, vemos que .
Esta transformación recibe el nombre de la transformación cero y se denota como .
Ejemplo 2.
Sea    tal que , . Entonces  Tes lineal, ya que  .
Esta transformación recibe el nombre de la transformación identidad de V en V, y se denota como .
Ejemplo 3.
Sea    tal que   la traza de A, es decir,  , la suma de los elementos de la diagonal. Entonces  T  es lineal, ya que

Ejemplo 4.
Sea    tal que  . Entonces T es lineal, ya que




Ejemplo 5.
Sea   tal que  , la derivada de . Entonces  T  es lineal ya...