Transformaciones lineales






0.- Introducción
1.- Introducción a las transformaciones lineales
1.1.- Transformación lineal
1.2.- Núcleo e Imagen de una transformación lineal
1.3.- Matriz de una transformación lineal
1.4.- Aplicación de la transformación lineal
















Introducción

En este proyecto analizaremos sobre las transformaciones lineales, pero como noestamos familiarizados con estos conceptos, nuestra primera tarea fue investigar ¿Qué son las transformaciones lineales?
Logramos poner en claro que una transformación lineal es aquella que toda función cuyo dominio e imagen son espacios vectoriales donde se cumplen las condiciones necesarias.

Como sabemos las transformaciones lineales, son muy importantes, ya que se da con granfrecuenciafrecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, por supuesto tienen una gran diversidad de aplicaciones importantes.

Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de las matemáticas.

Nosotros como futuros ingenieros en Mecatrónica, es nuestra tarea deber analizarlas y comprenderlas, para saber cómo y dónde se aplican en elárea laboral, ya que en un futuro en esta nos toparemos con problemas donde tendremos que usar las transformaciones lineales, y logrando aplicar este conocimiento adquirido se nos facilitara mucho el trabajo.





Introducción a las transformaciones lineales

Para lograr un mejor entendimiento de este tema, es necesario lograr comprender las siguientes definiciones:

Transformación:
Es unconjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.

Figura 1.- Ejemplo de la transformación.










Espacios vectoriales:
Son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estás funciones se llamarantransformaciones lineales.

Transformación lineal:
Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias.

Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienengran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.
 
Transformación lineal

Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales. Una transformación lineal o mapeo lineal de V a W es una función T: V→W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c:
a) T (u + v) = T (u) + T (v)
b) T(c u) = c T (u)

Figura 2.- Escribimos T: V→W paraindicar que T se transforma V en W.

Terminología:
Las transformaciones lineales se llaman con frecuenciaoperadores lineales, También las funciones que satisfacena) yb) se denominanfunciones lineales. En R2 definamos una función T por la fórmula:





Geométricamente, T toma un vector en R2y lo transforma en su reflexión con respecto al eje x. Es decir que T es una transformación linealde R2 en R2.


Tres observaciones sobre notación:

1. Se escribe T: v W para indicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una función con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen.
2. Se escriben indistintamente Tv y T(v). Denotan lo mismo; las dos se leen “T de v”. Esto es análogo a la notación funcional ʄ(x), que se lee“ʄ de x”.
3. Gran parte de las definiciones y teoremas en este capítulo también se cumplen para los espacios vectoriales complejos (espacios vectoriales en donde los escalares son números complejos).

Propiedades básicas de las transformaciones lineales.

Teorema 1.
SeaT: V →W una transformación lineal. Entonces para todos los vectoresu, v, v1,v2,...,vn en V y todos los escalares α1,α2,...