Transformaciones Lineales

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Introducción
Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.
Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructuraadicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformacioneslineales y en el presente capitulo las estudiaremos

APLICACIÓN LINEAL
En matemática una aplicación lineal (también llamada función lineal, transformación lineal u operador lineal) es una aplicación entredos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar. El término función lineal se usa también en análisis matemático y en geometría para designar unarecta, un plano, o en general una variedad lineal.
En álgebra abstracta una aplicación lineal es un homomorfismo entre espacios vectoriales o en el lenguaje de la teoría de categorías un morfismosobre la categoría de los espacios vectoriales sobre un cuerpo dado.

DEFINICIÓN
Se denomina aplicación lineal, función lineal o transformación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio seanespacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:
Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para todo par devectores u y v pertenecientes a V y para todo escalar k perteneciente a K, se satisface que:
1.
2. donde k es un escalar.

Las transformaciones lineales intervienen en muchas situacionesen Matemáticas y son algunas de las funciones más importantes. En Geometría modelan las simetrías de un objeto, enAlgebra se pueden usar para representar ecuaciones, enAnálisis sirven para aproximarlocalmente funciones,

Transformación lineal nula

Transformación lineal identidad

Homotecias
con
Si |k| > 1 se denominan dilataciones
Si |k| < 1 se denominan contracciones...