Transformaciones lineales

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM a

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Tema 4: Aplicaciones lineales
Ejercicios
1. Estudia la linealidad de las siguientes aplicaciones: (a) f : R2 −→ R3 , definida por f (x, y) = (x + y, x − y, x). (b) f : R −→ R2 , definida por f (x) = (−3x, 2x). (c) f : R2 −→ R2 , definida por f (x, y) = (x + y, 1). (d) f : R2 −→ R, definida por f (x, y) = xy. (e) f : R2 −→R2 , definida por f (x, y) = (x cos φ − y sen φ, x sen φ + y cos φ), con 0 ≤ φ < 2π. (f) f : R3 −→ P2 (R), definida por f (a, b, c) = a + bx + cx2 . 2. Estudia la linealidad de las siguientes aplicaciones: (a) f : Mn×n (R) −→ A ∈ Mn×n (R) : A = At , definida por f (A) = es la matriz traspuesta de A). (c) f : Pn (R) −→ Pn (R), definida por f (p(x)) = p(x + 1). (d) f : Pn (R) −→ Pn (R), definida por f(p(x)) = p(x) + 1. 3. Prueba que las siguientes aplicaciones, definidas sobre el espacio vectorial de los polinomios P(R), son lineales. Obt´n la imagen y el n´cleo de cada una de ellas. e u
x A+At 2

(At

(b) f : M2×2 (R) −→ A ∈ M2×2 (R) : A = At , definida por f (A) = AAt .

(a) f (p(x)) = p (x) 4. Sean f, g : R3 −→ R2 definidas por

(b) g(p(x)) =
0

p(t) dt

(a) f (1, −1, 0) = (2, 1),f (0, −1, 2) = (1, 1), f (3, 0, 1) = (0, 3). (b) g(1, −1, 0) = (2, 1), g(0, −1, 2) = (1, 1), g(1, −2, 2) = (−1, 4), g(3, 0, 1) = (0, 3). Averigua si son homomorfismos y, en caso afirmativo, si son monomorfismo, epimorfismo o isomorfismo. 5. Sea f : P3 (R) −→ P2 (R) definida sobre el conjunto p1 = 1 + x2 + 2x3 , p2 = 1 + x, p3 = 1 + x3 , p4 = x − x3 como f (p1 ) = x − 1, f (p2 ) = 1 + 3x2 , f (p3 ) = x2y f (p4 ) = 1. (a) ¿Es aplicaci´n lineal? o (b) ¿Existe una aplicaci´n lineal g : L ({p1 , p2 , p3 }) −→ P2 (R) tal que g(p1 ) = o 2 − 1, g(p ) = 1 + x? 2x − 3, g(p2 ) = x 3 (c) Extiende la aplicaci´n g a una aplicaci´n lineal h : P3 (R) −→ P2 (R) tal que o o h(pi ) = g(pi ), i = 1, 2, 3, y Ker h = L( 1 + x + x2 ).

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6.Halla una aplicaci´n lineal f : R3 −→ R3 tal que Ker f = {(x, y, z) : x + z = 0}, o f (1, 0, 0) sea proporcional a (0, 0, 1) y f ◦ f = f . ¿Es f unica? ´ 7. Halla una aplicaci´n lineal f : R4 −→ R3 tal que o Ker f = L ({(2, 1, 0, 1), (0, 1, 3, 0)}) Im f = L ({(0, 1, 2), (1, 1, 0)})

8. Halla una aplicaci´n lineal f : R3 −→ R3 tal que o Ker f = L ({(0, 0, 1)}) Im f = L ({(1, 0, 1), (1, 1, −1),(2, 1, 0)})

9. En R3 se consideran los subespacios S = L ({(0, 1, 0), (1, 1, 0)}) y T = L ({(1, 0, 1)}). (a) Expresa cada vector u = (x, y, z) ∈ R3 como suma de un vector uS ∈ S y otro uT ∈ T . (b) Demuestra que la aplicaci´n f : R3 −→ R3 , definida por f (u) = uS es lineal. o (c) Si L es un subespacio vectorial de R3 de dimensi´n 2, ¿cu´l es la dimensi´n de o a o f (L)? 10. (a) Sean f, g : V −→V aplicaciones lineales. Prueba que Ker(g ◦ f ) = f −1 (ker g ∩ Im f ). (b) Sea f : R3 −→ R3 definida por f (x, y, z) = (x + 2z, x + 3y, 3y − 2z). Obt´n e −1 (ker f ∩ Im f ). una base de f 11. Sea B = {v1 , v2 } una base de V , y f y g dos endomorfismos sobre V definidos por f (v1 ) = −3v1 + v2 f (v2 ) = v1 − v2 g(v1 ) = v1 + v2 g(v2 ) = v1

Encuentra las matrices, respecto de la base B, asociadasa f , g, f ◦g, g◦f y 2f 2 −3g 2 . 12. Sea f : R3 −→ R3 la aplicaci´n lineal cuya matriz, respecto de la base can´nica o   o 1 3 2 {e1 , e2 , e3 }, es 0 1 1. Calcula f (e1 ), f (e2 ), f (e3 ) y f (e1 + 2e2 − e3 ). ¿Es 2 −1 0 un isomorfismo? 13. Sea f  2 3 −1 : R3 −→ R3 la aplicaci´n lineal cuya matriz, respecto de la base can´nica es o o  0 −1 1 −1. Encuentra bases de la imagen y del n´cleo.u 1 1

14. Encuentra la matriz, respecto de las bases usuales en los correspondientes espacios, de las siguientes aplicaciones lineales: (a) f : M2×2 (R) −→ M2×1 (R), definida por f (A) = A (b) f : M2×2 (R) −→ M2×2 (R), definida por f (A) = A 1 . −1 1 1 1 1 − A. 0 1 0 1

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(c) f : P3 (R) −→ P3 (R), definida por f (1) =...