Transformaciones Lineales

Cap 4 Transformaciones Lineales

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4.1 Definición 4.2 Propiedades 4.3 Teorema de existencia de Transformación Lineal. 4.4 Núcleo 4.5 Imagen o recorrido 4.6 Representación matricial 4.7 Transformaciones Lineales inyectivas 4.8 Transformación Lineales Sobreyectivas 4.9 Isomorfismos 4.10 Transformación Inversa
Objetivos.
Se persigue que el estudiante: • Defina Transformaciones Lineales •Determine si una Transformación es lineal o no. • Encuentre regla de correspondencias. • Encuentre Núcleo e Imagen. • Determine si una Transformación Lineal es Inyectiva, Sobreyectiva, Isomorfismo. • Encuentre regla de correspondencia de la Inversa de una transformación lineal, si es que existe.

una

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Moisés Villena Muñoz

Cap 4 Transformaciones Lineales

4.1 Definición
Sean V y W dosespacios vectoriales. Una transformación lineal T : V → W es una función que asigna a cada vector de V un único vector de W y que satisface: 1.- T v1 + v 2 = T v1 + T v 2 ; ∀v 1 , v 2 ∈ V

( ) ( ) ( ) 2.- T (αv ) = αT (v ) , ∀α ∈ IR ∧ ∀v ∈ V
D : C ′[a, b] → C [a, b] f → D[ f (x)]

Ejemplo 1
El OPERADOR DIFERENCIAL

Por propiedades de la derivada, observe que es lineal: 1.- D[ f ( x) + g (x)] = D[ f ( x)] + D[g ( x)] 2.- D[αf ( x)] = αD[ f ( x)]

Ejemplo 2
La INTEGRAL DEFINIDA

I : C [a, b] → IR
f →

∫
a

b

f ( x)dx

Es otro ejemplo típico de transformación lineal, porque: 1.-

∫[ ∫
a a b

b

f ( x) + g ( x)]dx =
b

∫
a

b

f ( x)dx +

∫
a

b

g ( x)dx

2.-

αf ( x)dx = α

∫
a

f ( x)dx

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Moisés Villena Muñoz

Cap 4Transformaciones Lineales

Ejemplo 3
⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y⎟ ⎛x + y⎞ 4 2 Sea T : IR → IR tal que T ⎜ ⎟ = ⎜ ⎜ z + w ⎟ . Determine si es lineal o no. ⎟ z ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎜ w⎟ ⎝ ⎠
SOLUCIÓN: Para que T sea lineal se necesita que se satisfagan las dos propiedades de linealidad.

⎛ x1 ⎞ ⎛ x2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ y1 ⎟ ⎜ y2 ⎟ 1.- Si v1 = ⎜ ⎟ y v2 = ⎜ ⎟ se debe cumplir que z z ⎜ 1⎟ ⎜ 2⎟ ⎜w ⎟ ⎜w ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠

⎛ x2 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ x1 + x 2 ⎞ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ y2 ⎟ ⎜ y1 ⎟ ⎜ y1 + y 2 ⎟ T⎜ ⎟ = T⎜ z ⎟ +T⎜ z ⎟ z +z ⎜ 2⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 1 2⎟ ⎜w ⎟ ⎜w ⎟ ⎜w + w ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 1

⎛ x1 + x 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y + y 2 ⎟ ⎛ ( x1 + x 2 ) + ( y 1 + y 2 ) ⎞ ⎟ T⎜ 1 =⎜ z 1 + z 2 ⎟ ⎜ (z 1 + z 2 ) + (w1 + w2 )⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜w + w ⎟ 2 ⎠ ⎝ 1 . x1 ⎞ ⎛ ⎛ x2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ y1 ⎟ ⎜ y ⎟ ⎛ x1 + y 1 ⎞ ⎛ x 2 + y 2 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ T⎜ ⎟ +T⎜ 2 ⎟ = ⎜ ⎜z + w ⎟+⎜z + w ⎟ z z | ⎠ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎜ 1⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ 1 ⎜w ⎟⎜w ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠
Observe que se cumple 2.- Además, se debe cumplir que: T α v = αT v

( )

()

⎛ x⎞ ⎛ αx ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ αx + αy ⎞ ⎜ y⎟ ⎜ αy ⎟ v = ⎜ ⎟ → αv = ⎜ ⎟ ⇒ T (αv ) = ⎜ ⎟ ⎜ αz + αw ⎟ αz z ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ w⎟ ⎜ αw ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛x⎞ ⎜ ⎟ ⎛x+ y⎞ ⎜ y⎟ ⎛ x+ y⎞ T (v ) = T ⎜ ⎟ = ⎜ ⎜ z + w ⎟ ⇒ αT (v ) = α⎜ z + w ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ z ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎜ w⎟ ⎝ ⎠
Observe que también se cumple. Por tanto T SI es linealEjemplo 4
⎛ x + y⎞ ⎟ ⎛ x⎞ ⎜ ⎜ ⎟ = ⎜ x − y ⎟ . Determine si es lineal o no. Sea T : IR → IR tal que T ⎜ ⎟ y⎠ ⎜ ⎝ ⎟ ⎝ 2y ⎠
2 3

SOLUCIÓN: Para que T sea lineal se necesita que se satisfagan las dos propiedades de linealidad. 1.- Si v1 = ⎜ ⎟ y v 2 = ⎜ ⎟ entonces ⎜y ⎟ ⎜y ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠

⎛ x1 ⎞

⎛ x2 ⎞

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Moisés Villena Muñoz

Cap 4 Transformaciones Lineales

⎛ ( x 1 + x 2 ) + ( y 1 + y 2 )⎞⎟ ⎛ x + x2 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ( x1 + x 2 ) − ( y 1 + y 2 ) ⎟ T (v1 + v 2 ) = T ⎜ 1 ⎜y + y ⎟ 2 ⎠ ⎝ 1 ⎜ ⎟ 2( y1 + y 2 ) ⎝ ⎠
Por otro lado

⎛ x1 + y 1 ⎞ ⎛ x 2 + y 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎛x ⎞ ⎜ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ + T ⎜ 2 ⎟ = ⎜ x1 − y 1 ⎟ + ⎜ x 2 − y 2 ⎟ ⎟ T (v1 ) + T (v 2 ) = T ⎜ ⎜y ⎟ y1 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎜ 2y ⎟ ⎜ 2y ⎟ ⎝ 1 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
Observe que se cumple

⎛ αx + αy ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ x⎞ ⎛ αx ⎞ ⎜ ⎟ entonces αv = ⎜ ⎟ y T (αv ) = ⎜ αx − αy ⎟ 2.-Si v = ⎜ ⎟ ⎜ αy ⎟ y⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎜ 2αy ⎟ ⎝ ⎠
Por otro lado

⎛ x + y⎞ ⎛ x + y⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ x⎞ ⎜ T (v ) = T ⎜ ⎟ = ⎜ x − y ⎟ ⇒ αT (v ) = α⎜ x − y ⎟ ⎜ y⎟ ⎝ ⎠ ⎜ 2y ⎟ ⎜ 2y ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Observe que también se cumple. Por tanto T SI es lineal

Ejemplo 5
⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎛ x2 + y2 ⎞ ⎟ . Determine si es lineal o no. Sea T : IR 3 → IR 2 tal que T ⎜ y ⎟ = ⎜ 2 2 ⎟ ⎜ ⎜z⎟ ⎝x + z ⎠ ⎝ ⎠
SOLUCIÓN: Para que T sea lineal se...