Transformaciones Lineales

http://es.scribd.com/doc/40563532/Capt-5-Transformaciones-Lineales
http://es.scribd.com/doc/40563532/Capt-5-Transformaciones-LinealesTransformaciones lineales
http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma95-843/lecturas/l843-52.pdf
http://html.rincondelvago.com/transformaciones-lineales.html
características http://www.slideshare.net/algebralineal/transformaciones-lineales-4784959
ejemplos detransformación lineal http://ima.ucv.cl/hipertexto/alineal/cap3/ejem107-109.htm
http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/file.php/541/semana5clase1.pdf
http://html.rincondelvago.com/transformaciones-lineales.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Aplicaci%C3%B3n_lineal
rotacionhttp://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r76424.PDF
Una transformación es un conjunto de operaciones quese realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.
Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales.
Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio eimagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.

5.2 EJEMPLOS DE TRANSFORMACIONESLINEALES’
Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.
Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales.
Sedenomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramasde la matemática.
EJEMPLOS
Rotación por un ángulo Ө
Sea 0 ≤ Ө < 2π un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar cual es la transformación T de R^2
en R^2 que gira cada vector U=( U1,U2) un ángulo θ para obtener un vector T(u)=(v1,v2)
En una gráfica, vemos la situación como sigue:
Si usamos las funciones trigonométricas, tenemos que:
v1= ||T(u)||٠cos(α+Ө) = ||(u)||٠(cos α ٠ cos Ө -sen α ٠ sen Ө )
v2= ||T(u)||٠sen(α+Ө) = ||(u)||٠(sen α ٠ cos Ө - cos α ٠ sen Ө )
Distribuyendo y usando el hecho de que U1=||u|| cos α y U2=||u|| sen α
tenemos que:
v1= U1 cos Ө - U2 sen Ө
v2= U2 cos Ө + U1 sen Ө
Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la transformación T:R^2 → R^2
tal que: T (U1 , U2) = (U1 cos Ө - U2senӨ,U2 cos Ө + U1 sen Ө )
Esta transformación se llama larotación por un ángulo Ө
y es lineal, ya que:
T [(U1 , U2)+ λ(v1 , v 2)] = T (u1 + λ v1 , u2 + λ v2 )
= ((u1 + λ v1)cos Ө - (u2 + λ v2) sen Ө, (u2 + λ v2) cos Ө + (u1 + λ v1) sen Ө)
= (u1 cos Ө - u2 sen Ө, u2 cos Ө + u1 sen Ө) + λ (v1cos Ө - v2 sen Ө , v2 cos Ө + v1 sen Ө)
= T(u1 , u2) + λ T (v1 , v2)
Reflexión sobre el eje x
En este caso, queremos averiguar como está definida latransformación T de R^2 en R^2 que cada vector u = (u1 , u2) lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector T (u) = ( v1 , v2)
En una gráfica, vemos la situación como sigue:
↑→
En este caso, la situación es más sencilla ya que claramente tenemos dos triángulos rectángulos que son congruentes, de donde T queda definida como sigue:
T(u1 , u2)=(u1 , - u2)
Esta transformación se llama la reflexión...