Transformaciones Lineales

TRANSFORMACIONES LINEALES
En este capítulo se estudiaran ciertas funciones llamadas transformaciones lineales y se establecerá una conexión entre las transformaciones lineales y las matrices. Aligual que las matrices se pueden sumar, multiplicar entre ellas, y multiplicar por un escalar, veremos que se pueden definir operaciones similares para las transformaciones lineales. Se verá que elalgebra de matrices es básicamente la misma que la de transformaciones lineales.

DEFINICION:
Una transformación lineal es una transformación T: VW de un espacio vectorial V en un espacio vectorial Wcon la propiedades adicionales: (i) para cualquier par de vectores X y Y de V, T(X + Y) = T (X) + T (Y), y (ü) para cualquier escalar a y cualquier vector X de V, T (aX) = aT (X).Observe que suma del lado izquierdo de la ecuación de (i) es una suma en V por que X y Y están en V. la suma enel lado derecho de la ecuación en es una suma en W porque T (X) y T (Y) están el W. en forma semejante, aX es una multiplicación escalar en V, y aT (X) es multiplicación escalar en W.
Si A es unmatriz de m x n y lo elementos de Rm y Rn, se consideran vectores columna (en lugar de vectores fila), entonces T: Rn Rm definida por T (X) = AX es una transformación línea.
Verificación: Si X y Y sonvectores columna n x 1, entonces la multiplicación por la derecha de A por X y Y esta definida y
T (X + Y) = A (X + Y) = AX + AY = T (X) + T (Y)
Además,
T(aX) = A (aX) = a (AX) = aT(X)
La derivada. (Este ejemplo requiere conocimientos de calculo). Sea W el espacio vectorial de todas las funciones reales sobre |a , b|, y sea V el subespacio de todas las funciones de W que sondiferenciables. Considere la asignación D: VW definida por D(f) = f´ donde f´ esla derivada de f. Del calculo, D(f + g) = (f + g)´ = f´+ g´ = D(f) y D(g). Ademas, D(af) = (af)´= a (f´) = aD(f). Por...