Transformaciones Lineales

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TAMAZUNCHALE S.L.P.


Algebra lineal

Unidad V Tema:

Transformaciones Lineales

Carrera: Ingeniería en Sistemas
Computacionales

Semestre: Segundo

Turno: Vespertino

Catedrático: Miriam Edith Galicia Medina

Alumna:
Griselda Trinidad Reyes

ÍNDICE

Subtemas PáginasTransformaciones lineales

Introducción ………………………………………………………………..5

5.1 Introducción Transformaciones
Lineales……………………………………………………………………….5

Transformación lineal……………………………………………………….5

5. 2 El núcleo de una matriz………………………………………………..7

5.3 La matriz de una transformación lineal……………………………….8

5.4.- Aplicación de las transformaciones lineales:
reflexión, dilatación, contracción yrotación……………………………..10

Conclusión…………………………………………………………………13

Biografía…………………………………………………………………….14








Alumnos:
Griselda Trinidad Reyes

Introducción
Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.
Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar ymultiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.
En matemática una aplicación lineal (también llamada función lineal,transformación lineal u operador lineal) es una aplicación entre dos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar.
5.1 Introducción Transformaciones lineales
Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuenciaen el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.

Transformación lineal
Definición:
Se denomina aplicación lineal, función lineal o transformación lineal a toda aplicación cuyo dominio y condominio sean espaciosvectoriales que cumpla la siguiente definición:
Sean [pic]y [pic]espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo[pic], y [pic]una función de [pic]en [pic]. [pic]es una transformación lineal si para todo par de vectores [pic]y [pic]pertenecientes a [pic]y para todo escalar [pic]perteneciente a [pic], se satisface que:
1. [pic]
2. [pic]donde k es un escalar.5


Sean (V,+,◦,K ), (W,⊕,∗,K ) dos espacios vectoriales sobre el cuerpo K . Una aplicación o función T :V →W es una transformación lineal si
a) T(v1+v2) =T (v1)⊕T (v2); ∀v1,v2∈V .
b) T (k◦v) = k∗T (v);∀v∈, ∀k∈ K.

Observación
Sea T :V →W una transformación lineal, entonces:

a) Para simplificar la notación denotaremos lasoperaciones en los espacios con el mismo símbolo diciendo:
T: V → W es una transformación lineal si
a) T (v1+v2) =T (v1) +T (v2);∀v1,v2∈ V.
b) T (kv) =kT (v);∀v∈V,∀k∈K .
b) T es lineal si preserva las operaciones del espacio vectorial.
c) El cero del espacio V se transforma en el cero del espacio W, es decir, T (0 V ) = 0 W ya que, usando b), con k = 0 se consigue T (0 V ) = T(0·v) =0·T(v) = 0W .

Usando la contrapositiva concluimos: si T (0v) =0 W entonces T : V → W no es una transformación lineal.

d)T ( [pic] )= [pic]; [pic] [pic]

Ejemplo
Verifiqué que la transformación
T: R2→R3tal que T (x, y) = ( x + y, y, x – y), es una transformación lineal.

Solución.
a) Sean v 1 = ( x, y ), v2= ( p, q )∈R2, entonces
T (v1 + v2) =T (x + p, y + q )...