Transformaciones Lineales

Introducción a las transformaciones lineales
Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.
Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones sellamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Más adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.
Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en elálgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.

La transformación lineal es una función utilizada para la asignación de un espacio vectorial a otro espacio vectorial con la ayuda de los escalares, la cual satisface laexpresión f(a*x+b*y) =a*f(x)+b*f(y).
En otras palabras, se consideran 2 espacios vectoriales, V y W. Una transformación lineal es una gráfica T: V→ W que satisface dos condiciones:
1). T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2) donde v1 y v2 son vectores en V. 2). T (xV) = x T (v) donde x es una escala
Una transformación lineal puede ser sobreyectiva o inyectiva. En el caso que, W y V tengan dimensionesidénticas, entonces T puede llegar a ser invertible, esto es, se encuentra T-1 el cual satisface la condición TT-1 = I. Asimismo, T (0) será siempre 0.

La teoría de la matriz entra en la teoría de las transformaciones lineales porque es posible representar cada transformación lineal como matriz. La multiplicación de matrices puede considerarse como el ejemplo principal que puede demostrar el concepto detransformación lineal. Una matriz A de dimensión n x m define que T (v) = Av y aquí v es representado como un vector columna. Veamos un ejemplo:
Aquí, la transformación lineal t es definida como T (x, y) = (y, −2x + 2y, x). En el caso que, V y W sean de dimensión finita, la transformación lineal está mejor representada con la multiplicación de matrices en lugar de estableciendo la base delespacio vectorial, tanto para W y V. En el caso que, W y V incluyan un producto escalar y también los espacios vectoriales correspondientes y que W y V sean ortonormales, será simple representar la matriz correspondiente como.
Mientras que w y v son de dimensión infinita, la transformación lineal puede ser continua. Por ejemplo, considera que un espacio polinómico de 1 variable sea v y T una derivada.Entonces, T (xn) = nxn-1, una no continua como xn/n = 0 mientras que T (xn)/n no converge.

El resultado de la suma de 2 o más transformaciones lineales, la multiplicación de una transformación lineal por número particular, y la multiplicación de 2 transformaciones lineales, son siempre transformaciones lineales. Una transformación lineal en la cual su identidad es descrita en el espacioeuclidiano siempre es auto-adjunta en el caso de que la matriz A correspondiente sea simétrica en cualquier base ortonormal. Una transformación lineal que es auto-adjunta y se describa en una dimensión finita unitaria, el espacio (euclidiano) contiene una base ortonormal en la cual su matriz lleva una forma diagonal.
Existen dos espacios fundamentales que están asociados a una transformación lineal: sukernel ker(T) y su imagen im(T). El kernel y la imagen de una transformación lineal T corresponden con el espacio nulo y el espacio de la columna de cualquier matriz que represente a T.

En un sistema lineal, el número de variables es igual al número de variables libres más el número de variables angulares, quedando una transformación lineal final T: V→ W en la identidad dim V = dim ker(T)...