transformaciones lineales

BACHILLER VANESA ROJAS
ANZOATEGUI - BARCELONA



TRANSFORMACIONES
LINEALES






Julio, 2014
Índice










Introducción

El presente tema aborda una clase especial de funciones denominadas transformaciones lineales que ocurren con mucha frecuencia en el algebra lineal y otras ramas de las matemáticas. Estas tienen una gran variedad de aplicaciones importantes.Transformaciones lineales
Se denomina aplicación lineal, función lineal o transformación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:
Sean  y  espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo . Una aplicación  de  en  es una transformación lineal si para todo par de vectores  y para todo escalar , sesatisface que:

.

Ejemplos
La aplicación  que envía  en  (su conjugado) es una transformación lineal si consideramos a  como un -espacio vectorial. Sin embargo, no lo es si lo pensamos como -espacio vectorial, ya que .
Dado un espacio vectorial cualquiera, podemos definir la función identidad  , que resulta una transformación lineal.
Las homotecias:  con . Si k > 1 se denominan dilataciones,si k < 1 se denominan contracciones.
Dada una matriz , la función  definida como  es una transformación lineal. Gracias a la matriz asociada (leer más abajo en el artículo), podemos concluir que cualquier transformación lineal definida entre espacios vectoriales de dimensión finita puede verse como multiplicar por una matriz.
Las transformaciones lineales son las aplicaciones entre espaciosvectoriales, es decir que su dominio y codominio lo son. Las transformaciones lineales, también llamadas aplicación lineal, función lineal u operador lineal, son muy importante y son muy utilizadas en álgebra  pero debes conocer que para que esta aplicación sea una transformación lineal debe cumplir con vos condiciones. Por lo tanto para que T: V→W sea una transformación lineal debe cumplir:T(x+y)=T(x)+T(y)
T(kx)= k.T(x)

Al no cumplir cualquiera de estas condiciones no se trata de una transformación lineal, por lo tanto, debes corroborarlas cuando sea necesario.

Propiedades básicas de las transformaciones lineales.
Teorema 1. Sea T: V → W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1, v2, ..., vn en V y todos los escalares α1, α2, ..., αn:
T(0) = 0
T(u - v) = Tu– Tv
T(α1v1, α2v2, ..., αnvn) = α1Tv1+ α2Tv2+ ... + αnTvn

Nota. En la parte (i) el 0 de la izquierda, es el vector cero en V mientras que el 0 del lado derecho, es el vector cero en W.
Teorema 2. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B={v1, v2, ..., vn}. Sean w1, w2,..., wn n vectores en W. Suponga que T1 y T2 son dos transformaciones lineales de V en W tales queT1vi= T2vi = wi para i = 1, 2,..., n.
Entonces para cualquier vector v ∈ V, T1v = T2v. Es decir T1 = T2.
Teorema 3. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v1, v2,..., vn}. Sea también W un espacio vectorial que contiene a los n vectores w1, w2,..., wn. Entonces existe una única transformación lineal T: V → W tal que Tvi = wi para i = 1, 2, ..., n.

Núcleo e imagen de una transformaciónlineal
Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T:V W una transformación lineal. Entonces
El núcleo de T, denotado por un, está dado por
La imagen de T, denotado por Im T, esta dado por
Observación 1. Observe que un T es no vacio porque, de acuerdo al teorema 1, T (0) = 0 de manera que 0 ϵ un T para cualquier transformación lineal T. Se tiene interés en encontrar otros vectores en V que “setransformen en 0”. De nuevo, observe que cuando escribimos T(0) = 0, el 0 de la izquierda está en V y el de la derecha en W.
Observación 2. La imagen  de T es simplemente el conjunto de “imágenes” de los vectores en V bajo la transformación T. De hecho, si w = Tv, se dice que w es la imagen de v bajo T.

Espacio nulo de una transformación lineal
Sea T una transformación lineal de...