transformaciones lineales

4.2 DEFINICIÓN DE SUBESPACIO DE UN ESPACIO VECTORIAL Y SUS PROPIEDADES.

Subespacio Vectorial.
Definición
Sean (V,+, K,*) un espacio vectorial y S un subconjunto de V. S es subespacio vectorial de V si (S,+, K,*) es espacio vectorial en sí mismo, siendo + y * las mismas operaciones definidas en V.

Criterios de subespacio.
El criterio para la verificación de que S es subespacio de V, esque ambas operaciones (+ entre elementos del conjunto S y * con escalares del cuerpo K) sean cerradas, es decir, den como resultado elementos que también pertenezcan a S.

Propiedades
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío que cumple con estas tres condiciones:
1. El Punto Origen pertenece al conjunto. Ej.: (0, 0,0).
2. Sea K un número real y {v} un vector que pertenece al conjuntoentonces K.v también pertenece al conjunto.
3. Sean {u} y {v} dos vectores que pertenecen al conjunto entonces u+v también pertenece al conjunto.
Si estos tres axiomas se cumplen entonces el conjunto es un subespacio.





4.3 COMBINACIÓN LINEAL. INDEPENDENCIA LINEAL.

En las Matemáticas generales, el término combinación lineal se refiere a una expresión desarrollada a partir de un conjunto detérminos específicos, después de la multiplicación de cada término del conjunto por una constante en particular, y posteriormente mediante la suma del resultado. La forma básica de la combinación lineal es ax + by. Aquí tanto a como b son términos constantes particulares. La Combinación Lineal constituye el concepto básico del álgebra lineal.
Entendamos la definición de una manera más precisa.Considere el campo K y el espacio vectorial V, que está sobre K. Suponga que v1…. vn son vectores juntos con a1…an los cuales son escalares. Por lo tanto, la combinación lineal de los vectores es:
Podría darse el caso que uno se confunda con el significado básico de “Combinación lineal”, es decir, si la Combinación Lineal es un valor o una expresión. Puede verse que en la mayoría básicamente elconcepto se refiere a un valor, aunque de vez en cuando se trata como una expresión.
Otro concepto importante que está más o menos relacionado con la Combinación Lineal es la Independencia Lineal. Una familia de vectores se dice que es linealmente independiente cuando ninguno de ellos puede ser escrito con términos de combinación lineal dentro de la variedad de los vectores del conjunto.
Ladefinición más formal y precisa de la Independencia Lineal supone que V denota un espacio vectorial no necesariamente de dimensión finita en un campo arbitrario F. Antes de definir la noción de la dimensión V, primero debemos introducir algunas nociones preliminares, a partir de la Independencia Lineal. De manera informal situamos que, un conjunto de vectores son linealmente independientes si ninguno deellos puede expresarse como una Combinación Lineal de los otros. En otras palabras, dos vectores son linealmente independientes cuando no se encuentran en la misma línea a través del origen y tres vectores son independientes cuando no se encuentran en el mismo plano a través del origen.
Veamos una definición más profunda de este concepto. Si w1. . . wk están en V. Decimos que w1. . . wk sonlinealmente independientes (simple o independiente) si y solo si la combinación a1w1 + a2w2 + • • • + akwk = 0, con a1, a2,. . ., ak F es una combinación trivial a1 = a2 = • • • = ak = 0. Si la ecuación a1w1 + a2w2 + • • • + akwk = 0 tiene una solución en la que algunos ai 0, decimos que w1. . , son linealmente independientes (simple o independiente). También diremos que un subconjunto finito S de Ves independiente si los vectores contenidos en S son independientes.
Por ejemplo: Supongamos que queremos saber que si los vectores (1, 1) y (−3, 2) son linealmente independientes o no. Comencemos esta prueba simple: Considere que λ1 y λ2 to son dos números reales que satisfacen (1, 1) λ1 + (−3, 2) λ2 = (0, 0).
Simplificando las coordenadas individualmente, obtenemos
λ1 – 3 λ2 = 0
λ1 + 2 λ2 =...