Transformaciones Lineales

Instituto Tecnológico

Ing. Industrial Sistema Abierto

Materia:
Algebra lineal

Alumna:

Unidad 5
Transformaciones lineales.

INDICE.

Transformaciones lineales------------------------------------------------------------3

5.1. Introducción a la transformación lineal-------------------------------------3

5.2. Núcleo e imagen de una transformaciónlineal---------------------------6

5.3. La matriz de una trasformada lineal------------------------------------------8

5.4. Aplicación de las transformaciones lineales:  reflexión,  dilatación,  contracción  y  rotación------------------------------------------------9

Bibliografía---------------------------------------------------------------------------11

Transformaciones lineales.
5.1. Introducción a latransformación lineal.
En esta lectura se presentan las funciones entre espacios vectoriales que preservan las cualidades de los espacios vectoriales. Es decir, de funciones que preservan la suma y la multiplicación por escalares.
En los cursos básicos relativos a ecuaciones vimos que la solución a la ecuación
f(x) = 0
podría entenderse como los puntos donde la grafica de la función f(x) corta eleje de las x’s:

esta forma de ver a una ecuación permite entonces resolver ecuaciones de la forma:
f(x) = a
en este caso lo que se busca son los valores de x de aquellos puntos donde la grafica de la función f(x) corta la linea horizontal y = a:

Esta idea de corte de la grafica de f(x) con la recta y = a da pie a métodos graficos de solución de ecuaciones y también permite obtenerconclusiones cualitativas a ciertas ecuaciones. Por ejemplo, se deduce fácilmente que 3 sen(20 x) cos(x) = 1 tiene infinitas soluciones, mientras que 3 sen(20 x) cos(x) = 3.5 no tiene solución:

En el caso anterior, 3 sen(20 x) cos(x) = 1 tiene soluci´on debido a que 1 está en el rango de la función; mientras que 3 sen(20 x) cos(x) = 3.5 no tiene solución porque 3.5 no lo está. El rango de la funciónest´a marcado en el eje y como un segmento de línea magenta. En general, el siguiente resultado se tiene:
Teorema
La ecuación
f(x) = a
tiene solución si y sólo si a está en el rango de f(x).
Nosotros usaremos el concepto de la función para darle un tratamiento a los sistemas de ecuaciones lineales. La restricción que haremos será sobre el tipo de funciones: sólo estaremos interesados en funcionesque preserven las operaciones en el espacio vectorial. Este tipo de funciones serán llamadas funciones lineales. Primeramente las definiremos, veremos algunas propiedades generales y después veremos cómo se aplican estos resultados a sistemas de ecuaciones.
Definición de transformación lineal.
Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales. Una transformación lineal o mapeo lineal de Va W es una función T : V → W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c:
T(u + v) = T(u) + T(v)
T(c u) = c T(u)

5.2. Núcleo e imagen de una transformación lineal.
Sea T : V → W una transformación lineal. El núcleo T es el subconjunto formado por todos los vectores en V que se mapean a cero en W.
Ker(T) = {v ∈ V | T(v) = 0 ∈ W}

Ejemplo.
Indique cuales opcionescontienen un vector en el núcleo de la transformación de R3 en R3 definida como

Dentro de las opciones:

Solución
Antes de pasar a la velicación, es conveniente observar que es posible encontrar una matriz A tal que T(x) = A·x. Es decir, aplicar T a un vector x es equivalente a multiplicar por una cierta matriz A al vector x. Empecemos con la dimensión de A: como A se multiplica por la izquierdade x y x ∈ R3 entonces el numeró de columnas de A es 3. Por otro lado, como el resultado A · x es un vector de R3, entonces el número de renglones de A es 3. Si requerimos que

5.3. La matriz de una trasformada lineal.
Si bien las transformaciones lineales pueden estudiarse sin hacer referencia alguna a las bases de los espacios dominio y coodominio, un cálculo efectivo de las mismas exige...